第3章 基本图形生成算法.ppt

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1、 三个常用算法三个常用算法 假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0),(x1,y1)，且都为整数。(X i+1,Yi+k)(X i,Int(Yi+0.5)(X i,Yi)栅格交点表示象素点位置。基本思想已知过端点P0(x0,y0),P1(x1,y1)的直线段Ly=kx+b直线斜率为这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法和一次舍入运算。0101xxyyk)(,;10yroundxbkxystepxxxxxx令计算yi+1=kxi+1+b =kxi+b+kx =yi+kx 当x=1;yi+1=yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；注意上述分析的算法仅适用于k 1的情形

2、。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当 k 1时，必须把x，y地位互换 增量算法：在一个迭代算法中，如果每一步的x、y值是用前一步的值加上一个增量来获得，则称为增量算法。DDA算法就是一个增量算法。void DDALine(HDC hdc,int x0,int y0,int x1,int y1,int color)int x；float dx,dy,y,k;dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx;y=y0;for(x=x0;x=x1;x+)SetPixel(hdc,x,int(y+0.5),color);y=y+k;例：画直线段P0(0,0)-P1(5,2)x int(y+0

3、.5)y+0.5000+0.5100.4+0.5210.8+0.5311.2+0.5421.6+0.5522.0+0.50 1 2 3 4 5321Line:P0(0,0)-P1(5,2)缺点：在此算法中，y、k必须是float，且每一步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。原理：假定直线斜率0K P2离直线更近-取P2。M在Q的上方-P1离直线更近-取P1 M与Q重合，P1、P2任取一点。问题：如何判断M与Q点的关系？P=(xp,yp)QP2P1假设直线方程为：ax+by+c=0其中a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0由常识知：欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方，只需把

4、M代入F(x,y),并检查它的符号。点在直线下方点在直线上方点在直线上面0,0,0,yxFyxFyxFP=(xp,yp)QP2P1构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c当d0，M在直线(Q点)上方，取右方P1；当d=0，选P1或P2均可，约定取P1；能否采用增量算法呢？P=(xp,yp)QP2P1若d0-M在直线上方-取P1;此时再下一个象素的判别式为 d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c+a=d+a；增量为aP=(xp,yp)QP2P1 若dM在直线下方-取

5、P2;此时再下一个象素的判别式为 d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c+a+b=d+a+b；增量为abP=(xp,yp)QP2P1 画线从(x0,y0)开始，d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=a(x0+1)+b(y0+0.5)+c =F(x0,y0)+a+0.5b=a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算,可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。优点：只有整数运算，不含乘除法 可用硬件实现void Midpoint Line(int x0,int y0,int x1,int y1,int

6、color)int a,b,d1,d2,d,x,y;a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b;d1=2*a;d2=2*(a+b);x=x0;y=y0;drawpixel(x,y,color);while(xx1)if(d0)x+;y+;d+=d2;else x+;d+=d1;drawpixel(x,y,color);/*while*/*mid PointLine*/例：用中点画线法P0(0,0)P1(5,2)a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6i xiyid1 0012 10-33 2134 31-15 4256 5 20

7、1 2 3 4 5321现就0k1的情况来说明Bresenham算法。由DDA算法可知：yi+1=yi+k (1)由于k不一定是整数，由此式求出的yi也 不一定是整数，因此要用坐标为（xi,yir）的象素来表示直线上的点，其中yir表示最靠近yi的整数。设图中xi列上已用（xi,yir）作为表示直线的点，又设B点是直线上的点，其坐标为（xi+1,yi+1），显然下一个表示直线的点（xi+1,yi+1,r）只能从图中的C或者D点中去选。设A为CD边的中点。若B在A点上面则应取D点作为（xi+1,yi+1,r），否则应取C点。为能确定B在A点上面或下面，令(xi+1)=yi+1-yir-0.5 (

8、2)若B在A的下面，则有(xi+1)0。由图可知 yi+1,r=yir+1，若(xi+1)0 (3)yi+1,r=yir，若(xi+1)0由式（2）和式（3）可得到 (xi+2)=yi+2-yi+1,r-0.5 =yi+1+k-yi+1,r-0.5 （4）yi+1-yir-0.5+k-1,当(xi+1)0 yi+1-yir-0.5+k,当(xi+1)0(xi+2)=(xi+1)+k-1,当(xi+1)0(xi+2)=(xi+1)+k,当(xi+1)0 由式（2）可得到的初值 (x2)=y2-yr-0.5 =d-0.5=-0.5(5)程序如下：BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,

9、color)int x0,y0,x1,y1,color;int x,y,dx,dy;float k,e;dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx;e=-0.5;x=x0;y=y0;for(i=0;i=0)y+;e=e-1;上述Bresenham算法在计算斜率时用到除法，在计算误差项时用到小数。由于算法中只用到误差项的符号来判断，因此，如下替换不会改变算法性质。e=2*e*dx 优点 整数运算，速度快 精度高 乘2运算可用移位实现，适于硬件实现 程序如下：BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color)int x0,y0,x1,y1,color;int x,y,dx,d

10、y;float k,e;dx=x1-x0;dy=y1-y0;e=-dx;x=x0;y=y0;(e=-0.5)for(i=0;i=0)y+;e=e-2*dx;(e=e-1)四个常用算法四个常用算法下面仅以圆心在原点、半径R为整数的圆为例，讨论圆的生成算法。假设圆的方程为：X2 +Y2 =R2X2 +Y2 =R2Y=Sqrt(R2-X2)在一定范围内，每给定一X值，可得一Y值。当X取整数时，Y须取整。缺点：浮点运算，开方，取整，不均匀。yx利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp+1，Yp-1)。MP1P2P（X

11、p，Yp）构造函数：F（X，Y）=X2 +Y2-R2；则 F（X，Y）=0 （X，Y）在圆上；F（X，Y）0 （X，Y）在圆外。设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5)MP1P2有如下结论：F（M）M在圆内-取P1 F（M）=0-M在圆外-取P2为此，可采用如下判别式：MP1P2 d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2 若d=0,则P2 为下一个象素，那么再下一个象素的判别式为：d1=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2 =d+（2xp+3）+（-2 yp+2）即d 的增量为 2(xp-yp)+5.

12、d的初值:d0=F(1,R-0.5)=1+(R-0.5)2-R2 =1.25-RMP1P2 MidpointCircle(int r,int color)int x,y;float d;x=0;y=r;d=1.25-r;drawpixel(x,y,color);while(xy)if(d0)d+=2*x+3;x+elsed+=2*(x-y)+5;x+;y-;drawpixel(x,y,color);为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。使用e=d-0.25代替d e0=1-R现在从A点开始向右下方逐点来寻找弧AB要用的

13、点。如图中点Pi-1是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB的走向，下一个点应该从Hi或者Li中选择。显然应选离AB最近的点作为显示弧AB的点。假设圆的半径为R，显然，当xhi2+yhi2-R2 R2-(xli2+yli2)时，应该取Li。否则取Hi。令di=xhi2+yhi2+xli2+yli2-2R2 显然，当di 0 时应该取Li。否则取Hi。剩下的问题是如何快速的计算di。设图中Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，则Hi和Li的坐标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1)di=xi2+yi-12+xi2+(yi-1-1)2-2R2=2xi2+2yi-12-2yi-1-2R2 H

14、i+1和Li+1的坐标为(xi+1,yi)和(xi+1,yi-1)di+1=(xi+1)2+yi2+(xi+1)2+(yi-1)2-2R2=2xi2+4xi+2yi2-2yi-2R2+3当di取Hi-yi=yi-1，则 di+1=di+4xi-1+7当di 0时-取Li-yi=yi-1-1，则 di+1=di+4(xi-1-yi-1)+11 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0=12+y02+12+(y0-1)2-2R2=3-2y0=3-2R 原理：(xi,yi)设圆的方程为F(x,y)=X2 +Y2-R2=0;假设求得Pi的坐标为(xi,yi)；则当Pi在圆内时-F(xi,y

15、i)向右-向圆外Pi在圆外时-F(xi,yi)0-向下-向圆内即求得Pi点后选择下一个象素点Pi+1的规则为：当F(xi,yi)0 取xi+1=xi+1，yi+1=yi;当F(xi,yi)0 取xi+1=xi，yi+1=yi-1;这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使F(xi,yi)时正时负，故称正负法。快速计算的关键是F(xi,yi)的计算，能否采用增量算法？若F(xi,yi)已知，计算F(xi+1,yi+1)可分两种情况：1、F(xi,yi)0-xi+1=xi+1，yi+1=yi;-F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2 -=(xi+1)2+yi2-R2=F(xi,

16、yi)+2xi+1 2、F(xi,yi)0-xi+1=xi，yi+1=yi-1;-F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2 -=xi2+(yi 1)2-R2=F(xi,yi)-2yi+1 3、初始值：略 思想：当一个正多边形的边数足够多时，该多边形可以和圆无限接近。即 因此，在允许的误差范围内，可以用正多边形代替圆。设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi),Pi的幅角为i,每一条边对应的圆心角为，则有 xi=Rcos i yi=Rsin i圆边正内接多边形）nn(lim 内接正内接正n边形代替圆边形代替圆 计算多边形各顶点的递推公式计算多边形各顶点的递推公式 Xi+1 Rcos(+i)=Yi+1 Rsin(+i)Xi+1 cos -sin Xi =Yi+1 sin cos Yi因为:是常数，sin ，cos 只在开始时计算一次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法，外加直线段的中点算法的计算量。F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界点。椭圆上一点处的法向：N(x,y)=(