第1讲 函数与方程思想.ppt

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1、专题八 数学思想方法第 1讲 函数与方程思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题思想方法概述1.函数与方程思想的含义函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图质是单调性、奇偶性、

2、周期性、最大值和最小值、图象变换等象变换等.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识，用方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系方程思想是动中求静，研究运动中

3、的等量关系.2.和函数与方程思想密切关联的知识点和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当，当y0时，就化为不等式时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，

4、其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解那么问题就能化为未知量的方程来解.(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角

5、坐标系后，立体几何与函数的解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切关系更加密切.热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 热点三 函数与方程思想在几何中的应用热点分类突破例1(1)f(x)ax33x1对于对于x1,1总有总有f(x)0成立，则成立，则a_.热点一 函数与方程思想在不等式中的应用解析若若x0，则不论，则不论a取何值，取何值，f(x)0显然成立；显然成立；当当x0即即x(0,1时，时，当当x0即即x1,0)时，时，因此因此g(x)ming(1)4，从而，从而a4，综上，综上a4.答案4(2)设设f(x)，g(x)分别是定义在分别是

6、定义在R上的奇函数和偶函数，上的奇函数和偶函数，当当x0，且，且g(3)0，则不等式则不等式f(x)g(x)0的解集是的解集是_.解析设设F(x)f(x)g(x)，由于，由于f(x)，g(x)分别是定义在分别是定义在R上的奇函数和上的奇函数和偶函数，偶函数，得得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即即F(x)在在R上为奇函数上为奇函数.又当又当x0，所以所以x0时，时，F(x)也是增函数也是增函数.因为因为F(3)f(3)g(3)0F(3).所以，由图可知所以，由图可知F(x)0或或f(x)0或或f(x)max0；已知恒成立求参数；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值

7、域求解范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.思维升华变式训练1(1)若若2x5y2y5x，则有，则有()A.xy0 B.xy0C.xy0 D.xy0解析把不等式变形为把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数构造函数y2x5x，其为，其为R上的增函数，上的增函数，所以有所以有xy.B所以所以f(x)2x36x2，令令f(x)0得得x0或或x3，经检验知，经检验知x3是函数的是函数的一个最小值点，一个最小值点，即即f(x)9恒成立，恒成立，答案A例2已知数列已知数列an是各项均为正数的等差数列是各项均为正数的等差数列.(1)若若a12，且，且a2，a3，a41成等比数列，求数列成等比数列，求数列

8、an的通项公式的通项公式an；热点二 函数与方程思想在数列中的应用解因为因为a12，a2(a41)，又因为又因为an是正项等差数列，故是正项等差数列，故d0，所以所以(22d)2(2d)(33d)，得得d2或或d1(舍去舍去)，所以数列所以数列an的通项公式的通项公式an2n.解因为因为Snn(n1)，所以所以f(x)在在1，)上是增函数，上是增函数，故当故当x1时，时，f(x)minf(1)3，要使对任意的正整数要使对任意的正整数n，不等式，不等式bnk恒成立，恒成立，(1)等差等差(比比)数列中各有数列中各有5个基本量，建立方程组个基本量，建立方程组可可“知三求二知三求二”；(2)数列的本

9、质是定义域为正整数集或其有限子数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解想求解.思维升华变式训练2(1)(2014江苏江苏)在各项均为正数的等比数列在各项均为正数的等比数列an中，若中，若a21，a8a62a4，则，则a6的值是的值是_.解析因为因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由所以由a8a62a4得得a2q6a2q42a2q2，消去，消去a2q2，得到关于得到关于q2的一元二次方程的一元二次方程(q2)2q220

10、，解得解得q22，a6a2q41224.4又数列又数列an是等比数列，是等比数列，且数列且数列 an是递增数列，是递增数列，答案D热点三 函数与方程思想在几何中的应用(1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；设点设点M，N的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以，所以，k的值为的值为1或或1.几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系,将目标量表示为一个将目标量表示为一个(或者多个或者

11、多个)变量的函数，然变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.思维升华变式训练3解析设点设点B的坐标为的坐标为(x0，y0)，B1.在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量定理列方程或方程组求解需要的量.本讲规律

12、总结2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想的答案，这就需要使用函数思想.3.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解构造中间函数来求解.4.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参

13、数，这许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟34121log3132121log3121log2即即0a1，b1，所以，所以cab.C13212真题感悟3412真题感悟34解析如图所示，设以如图所示，设以(0,6)为圆心，以为圆心，以r为半径的圆的方程为为半径的圆的方程为x

14、2(y6)2r2(r0)，与椭圆方程，与椭圆方程 y21联立得方程组，联立得方程组，消掉消掉x2得得9y212yr2460.令令12249(r246)0，解得解得r250，12真题感悟34故选故选D.答案D3.(2014江苏江苏)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，若曲线中，若曲线yax2 (a，b为常数为常数)过点过点P(2，5)，且该曲线在点，且该曲线在点P处的处的切线与直线切线与直线7x2y30平行，则平行，则ab的值是的值是_.12真题感悟3434.(2014福建福建)要制作一个容积为要制作一个容积为4 m3，高为，高为1 m的无盖的无盖长方体容器长方体容器.已知该容器的底面造价

15、是每平方米已知该容器的底面造价是每平方米20元，元，侧面造价是每平方米侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元，则该容器的最低总造价是_.(单位：元单位：元)12真题感悟34又设该容器的造价为又设该容器的造价为y元，元，12真题感悟34所以所以ymin80204160(元元).答案160押题精练1231.函数函数f(x)的定义域为的定义域为R，f(1)2，对任意，对任意xR，f(x)2，则，则f(x)2x4的解集为的解集为()A.(1,1)B.(1，)C.(，1)D.(，)456押题精练123456解析f(x)2转化为转化为f(x)20，构造函数构造函数F(x)f(x)2x，得得F(

16、x)在在R上是增函数上是增函数.又又F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即即F(x)4F(1)，所以，所以x1.答案B押题精练123456解析可知可知|MN|f(x)g(x)x2ln x.押题精练123456答案D押题精练123456押题精练123456解析当当x0时，时，ax3x24x30变为变为30恒恒成立，即成立，即aR.押题精练123456所以所以(x)在在(0,1上递增，上递增，(x)max(1)6.所以所以a6.押题精练123456当当x2，1)时，时，(x)0，(x)在在(1,0)上单调递增上单调递增.所以当所以当x1时，时，(x)有极小值，即为最小值有极小值，即为最小值.押题精练123456综上知综上知6a2.答案C4.若关于若关于x的方程的方程(22|x2|)22a有实根，则实有实根，则实数数a的取值范围是的取值范围是_.押题精练123456解析令令f(x)(22|x2|)2.要使要使f(x)2a有实根，有实根，只需只需2a是是f(x)的值域内的值的值域内的值.f(x)的值域为的值域为1,4)，1a24，1a0，即，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a