第1章静电场4.ppt

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1、第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU1.3 基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1 基本方程(Basic Equation)静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition静电场的基本方程为0E D微分形式（旋度、散度）0d llEqSSD d积分形式（环量、通量）构成方程ED下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPUzyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAx

2、AxAzAzAyAeee)()()(0矢量 A 可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?例1.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？，zyxzyxeeeA543解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Ele

3、ctrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department

4、，TJPU第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU0dlim0021ddlE4、的衔接条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧，0dnEDnED22n22n211n11n1,21因此电位连续nn2211得电位的法向导数不连续由 ，其中n1n2DD图1.3.3 电位的衔接条件下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU说明（1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；图1.3.4 导体与电介质分界面例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。

5、解:分界面衔接条件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 ,const0 tnED，导体中 E0，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU解：忽略边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121 EE22110SSq图(a)图(b)02211qSS2211 例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。2211EE02211UdEdE下 页上 页返 回图1.3.5 平行板电容器第第 一一 章章静静 电电 场场Electrica

6、l Engineering Department，TJPU1.4 边值问题、惟一性定理1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation)2泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子 DBoundary Value Problem and Uniqueness Theorem02拉普拉斯方程当=0时下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU1.4.2 边值问题（Boundary Problem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界

7、条件(待讲）分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值lim0r自然边界条件 有限值rrlim泊松方程/2拉普拉斯方程0221nn2211下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或电力线)(2sfnS)()3sfnS（下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Ele

8、ctrical Engineering Department，TJPU有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法边值问题下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy下 页上 页返 回图1.4.1 缆心为正方

9、形的同轴电缆第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU0)dd(dd122222rrrr)(ra通解43221021)(16)(CrCrCrCrr例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域建立方程边界条件arar21ararrr2010有限值01 r参考电位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar 下 页上 页返 回图1.4.2 体电荷分布的球体 第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU电场强度（球坐标梯度公式）：11)(rEra

10、rarrreerE2022223)(得到rarararrar03222013)(0)3(6)(图1.4.3 随r变化曲线E，errrsin11eerarrrrr0301ee下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU201.xdU A答案:（C）1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem)例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。002.UxdU B003.UxdU C下 页上 页返 回图1.4.4 平板电容器外加电源

11、U0第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU1.5 分离变量法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。1.5.1 解题的一般步骤：Separation Variable Method分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；写出边值问题（微分方程和边界条件）；利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Depa

12、rtment，TJPU例1.5.1 试求长直接地金属槽内电位的分布。解:边值问题1.5.2 应用实例1.直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000,0,0,00,022222（D 域内）下 页上 页返 回图1.5.1 接地金属槽的截面yxasin100第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU分离变量)()(),(21yxyx2222dd1y，2121dd1x设-分离常数,有和,0 0 ,022nnkk0dd1dd122222121yx代入微分方程，0dd10dd122222121y

13、x2222222121dd1dd1nnkykx2222222122dd1dd1nnkykx下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn代入边界条件，确定积分常数),3,2,1(nankn 0 0 轴)0Aya0 0 0)0nCCxb，轴00B0)axc)sh()sin(),(1yanxanFyxnn)()()(000021yDCxBAyx通解)sh()

14、ch()(sin(1ykDykCxknnnnnn沿 x方向作正弦变化，0nnnABA下 页上 页返 回图1.5.2 双曲函数第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPUayd)sin(100 ax)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn比较系数当 时，1n0nF)sh()sin(sh100),(yaxayx当 时，1n100sh1Fsh1001F)sh()sin(),(1yanxanFyxnn下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU

15、若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布0U通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn等式两端同乘以 ，然后从 积分xamsina0(1)d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana左式 )cos1(0mmaU1,3,5,.20,2,4,.00mmaUm当 时，0Uay 下 页上 页返 回第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU右式 nmEaxxanEnmnn 2d)(sin 02a0代入式（1）)sh(2220nFaEamaU

16、nn代入通解)sh()sin(sh14),(10yanxannnUyxnn奇数1,3,5,.sh40nmnnUFn下 页上 页返 回图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU 解：取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112aa0cos ，0 10221021EExa根据对称性0)2,(),(),(及 例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外 和 E 的分布。下 页上 页返 回图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒第第 一一 章章静静 电电 场场Electrical Engineering Department，TJPU当 时，0n000000)(ln)(DCBAR，当 时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)()(，)sincos()(1nDnCBAnnnnnnn 代入微分方程分离变量,设)()(),(R0dd1dddd22222RRRR)(ln(),(0000DCBA通解0dddd2222RnRR取 n2=常数，令0dd222