第1次课条件概率.ppt

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1、电子课件电子课件概率论与数理统计概率论与数理统计 随机事件随机事件 随机事件的概率随机事件的概率 条件概率条件概率 独立性独立性蒲丰投针试验蒲丰投针试验例例1777年年,法国科学家蒲丰法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针提出了投针试验问题试验问题.平面上画有等距离为平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b(b0,m(B)0,则则.)()()()()()()()()(BPABPSmBmSmABmBmABmBAP 条件概率的定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称()(|)()P ABP B AP A 若事件若事件A已发

2、生已发生,则为使则为使 B也也发生发生,试验结果必须是既在试验结果必须是既在 A 中中又在又在B中的样本点中的样本点,即此点必属于即此点必属于AB.由于我们已经知道由于我们已经知道A已发生已发生,故故A变成了新的样本空间变成了新的样本空间,于是于是 有有上式上式.SBAAB为在事件为在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.,0)(时时 BP条件概率满足概率定义中的三个基本性质条件概率满足概率定义中的三个基本性质非负性：对于任何事件非负性：

3、对于任何事件B B，有，有P(BA)0P(BA)0；规范性：对于必然事件规范性：对于必然事件S S，有，有P(SA)=1P(SA)=1；可列可加性：设可列可加性：设B B1 1 ，B B2 2 ，两两互不相容的事件，即对两两互不相容的事件，即对于于ij,Bij,Bi iB Bj j=,i,j=1,2,=,i,j=1,2,则有则有可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如：果都适用于条件概率。例如：特别当特别当A=SA=S时，条件概率化为无条件概率。时，条件概率化为无条件概率。.)(11 iiiiABPABP

4、)()()()(1)(0)(212121BAAPBAPBAPBAAPBAPBAPBP n条件概率的计算 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 1)用定义计算用定义计算:()(|),()P ABP A BP B P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已

5、知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。111432 ABP(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=P()已已知知 求 求 例 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解50岁活到A51岁活到B记 因此BAB 要求)(ABPAB 显然90135.0)()(BPABP90718.0)(AP90135.0)(BP因为从而 99357.090718.090135.0)()()(APABPABP 可知该城市的

6、人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643。在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡。.)(1)()(0)(BBPAPBAPBPA，则互斥，且与若事件练习 .)(1)()(1)()()()()()()(BPAPBPABPAPBPABAPBPBAPBAP 解解二、乘法公式由条件概率的定义：()(|)()P ABP A BP B 若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(1)而而 P(AB)=P(BA)将将A、B的位置对调，有的位置对调，有 故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|

7、A)(2)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)(1)和和(2)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率乘法公式当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P(A1A2An）-=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:例 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地从袋中取两球。试求两次均取到白球的概率。解11)(12baaAAP次取到白球第iAi)2,1(i记)(21AAP要求baaAP)(1显然baabaaAPAAPAAP11)()()(11221因此

8、例 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品。为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率解采购员拒绝购买A51iiAA则54321AAAAAA 从而 件产品是废品被抽查的第iAi5,4,3,2,1i设9994)(12AAP9893)(213AAAP9792)(3214AAAAP9691)(43215AAAAAP由乘法定理7696.0969798991009192939495)()()()()()()(11221332144321554321APAAPAAAPAAAAPAAAAAPAAAAAP

9、AP于是2304.0)(1)(APAP10095)(1AP由题意，有.,.到到白白球球的的概概率率球球且且第第三三、四四次次取取试试求求第第一一、二二次次取取到到红红四四次次若若在在袋袋中中连连续续取取球球的的球球与与所所取取出出的的那那只只球球同同色色只只并并再再放放入入观观察察其其颜颜色色然然后后放放回回任任取取一一只只球球每每次次自自袋袋中中只只白白球球只只红红球球、设设袋袋中中装装有有atr 解解次次取取到到红红球球”“第第为为事事件件设设iiAi)4,3,2,1(.43四四次次取取到到白白球球为为事事件件第第三三则则、A、A书后第书后第6 6题题t个白球个白球,r个红球个红球因因此此

10、所所求求概概率率为为)(4321AAAAP)()()()(1122133214APAAPAAAPAAAAP.23trratraratrtatrat 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.注：注：当当 a0 时，由于每次取出球时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的后会增加下一次也取到同色球的概率概率.这是一个传染病模型这是一个传染病模型.每每次发现一个传染病患者，都会增次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率加再传染的概率.一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.

11、大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余，其余的什么也没写的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依个人依次抽取次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？到底谁说的对呢？让我们用概率论到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下的知识来计算一下,每个人抽到每个人抽到“入场入场券券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争

12、先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P()4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”iA因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，

13、必须第1个人未抽个人未抽到，到，2121()()(|)P AP A P AA 212AA A 由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/53123121312()()()(|)(|)P AP A A AP A P AA P AA A 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/

14、5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。以它是概率。条件概率是在试验条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件的条件上加上一个新条件(如如B发生发生)求求事件事件(如如A)发生的概率。条件概率发生的概率。条件概率P(A B)与与P(A)的区别就是在的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。的概率。条件概率条件概率P(A B)与积事件概率与积事件概率P(AB)有什么区别？有什么区别？

15、P(AB)P(AB)是在样本空间是在样本空间S S内，事件内，事件ABAB的概率，而的概率，而P(AB)P(AB)是在是在试验试验E E增加了新条件增加了新条件B B发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间S SB B中计算事件中计算事件A A的概的概率。虽然都是率。虽然都是A A、B B同时发生，但两者是不同的，有同时发生，但两者是不同的，有P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)，仅当，仅当P(B)P(B)P(S)P(S)1 1时，两者相等。时，两者相等。条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？三、全概率公式与贝叶斯公

16、式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式。先引入一个例子 例 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3。(1)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问该此次品分别是由第1、2车间生产的概率为多少？21ABABA)(21ABAB从而（7）于是132.05312.05215.0)()()()()()()()(22112121BPBAPBPBAPABPABPABABPAP（8）解(1)一台是次品从仓库中随机地取出的A车间生产的提出的一台是第 iBi)2,1(i记21BB 21BB（6）因为（2）问题归结为计算 和)(1ABP)(2ABP由条件概率的定义及乘法公式，有4462.0132.05215.0)()()()()()(1111APBPBAPAPABPABP(9)5454.0132.05312.0)()()()()()(2222APBPBAPAPAB