重要平面曲线.ppt

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1、附录附录 重要平面曲线重要平面曲线(1)三次抛物线三次抛物线(3)概率曲线概率曲线(5)蔓叶线蔓叶线(7)星形线星形线(9)心形线心形线(11)对数螺线对数螺线(13)伯努利双纽线伯努利双纽线(15)四叶玫瑰线四叶玫瑰线(2)半立方抛物线半立方抛物线(4)箕舌线箕舌线(6)笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线(8)摆线摆线(12)阿基米德螺线阿基米德螺线(10)双曲螺线双曲螺线(14)三叶玫瑰线三叶玫瑰线结束 3xy 三次抛物线三次抛物线 拐点:(0,0)xyxy 关于原点对称32xy 尖点:(0,0)在尖点处与 x 轴相切 关于 x 轴对称半立方抛物线半立方抛物线结束 2xey概率曲线概率曲线 拐点:)

2、,(121exyBA 拐点处切线斜率:e2 渐近线:轴x 与 x 轴之间的面积:关于 y 轴对称设 服从标准正态分布,则其概率密度函数为2221)(xexf 拐点:),1(1e 与 x 轴之间的面积:1结束 箕舌线箕舌线taxtantay2cos223axay或点击图中任意点动画开始或暂停 渐近线:y=0 曲线与渐近线之间的面积:2aSM是直径为a 的圆上的动点,Q是射线OM与 y=a 的交点,QPx 轴,MPx 轴P点轨迹即为箕舌线.轨迹:ayoxtPMQ结束 oxya蔓叶线蔓叶线221 ttaax32)2(xxay或231 ttaayM 是半径为 a 的母圆上的动点,满足 OM=PQ 之点

3、 P 的轨迹即为 渐近线:ax2 曲线与渐近线之间的面积:23 aS点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停 轨迹:)tan(tMPQ蔓叶线 结束 313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线1t参数的几何意义参数的几何意义:tant),()1,(42t图形在第四象限,(0,1(43t图形在第二象限),0),02t图形在第一象限动画走向:1 1+结束 点击图中任意点动画开始或暂停 313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线(续续)1t 结点:)0,0(O在该点与 x 轴 y 轴相切,曲率半径为a23 顶点:),(2323aaA 渐近线:0ayx 圈套所围面

4、积:2231aS 曲线与渐近线之间的面积:2232aSoxyaaA结束 tax3costay3sin323232ayx或4a星形线星形线(内摆线的一种内摆线的一种)弧 长:as6 所围面积:283aS 轨迹:半径为半径为 a 的定圆滚动时,其上定点 M 的轨迹即为星形线的动圆圆周沿axoytM结束 点击图片任意处播放开始或暂停摆线摆线)sin(ax)cos1(ay点击图中任意点动画开始或暂停半径为 a 的圆周沿直线Moyxa无滑动地滚动时,其上定点 M 的轨迹即为摆线.轨迹:结束 Moyxta摆线摆线(续续)a2 周 期:aT2 极大点:),2,1()12(kakxk 曲率半径:2sin4ta

5、R 一拱长:a8 一拱面积:23 aS 渐屈线:仍为摆线yoxaa2Mo坐标系下在o与原摆线一致)sin(ax)cos1(ay结束 1x心形线心形线2222yxaxayx或)cos1(aroxy 尖点:(0,0)面积:223a 弧长:a8 轨迹:外摆线的一种 点击图中任意点动画开始或暂停动圆直径=定圆直径=a 结束 oxya心形线的另一种形式心形线的另一种形式2222yxaxayx即)cos1(ar 尖点:(0,0)面积:223a 弧长:a8点击图中任意点动画开始或暂停结束 外摆线外摆线(圆外旋轮线圆外旋轮线)族族tbtbaxbbacoscos)(tbtbaybbasinsin)(定圆圆心为(

6、0,0),半径为 a,动圆半径为 b,abm m=1为心形线2m3m4m23m5m点击图中任意点动画开始或暂停结束 0a0a阿基米德螺线阿基米德螺线ar 物理意义:动点 M 以常速 v 沿一射线运动,该射线又 以定速 绕极点转动时,点M 的轨迹即为阿基米德螺线 结束 vr 阿基米德螺线阿基米德螺线(续续)等距性:过极点的射线与曲线,321AAA交于ox1A2A3A1M2MM)1ln(arsh2其中 弧 长:)arsh1(22aOML2)1(2232aR)(2221261aS 曲率半径:21的面积MOM 扇形结束 它们之间的间隔都是a2对数螺线对数螺线aer xo的交角 都相等:a1tan(等角

7、螺线等角螺线)等比性:过极点的射线与曲线交于,101AAA,101OAOAOA则各线段成等比级数,公比为ae2 弧长:)(121221rrLaaMM 曲率半径:raR21rLaaOM211M2MM曲线与所有过极点的射线0A1A1A2A动画走向为0:等角性:点击图中任意点动画开始或暂停结束 oxya双曲螺线双曲螺线ar 1M 渐近点:2M极点 O)(渐近线:ay 曲率半径:312aR 扇形：的面积21MOM212112aS 曲线由两支组成,它们关于 y 轴对称动画走向为0:点击图中任意点动画开始或暂停结束 伯努利双纽线伯努利双纽线2cos22ar或)()(222222yxayx点击图中任意点动画

8、开始或暂停 结点(同拐点):)0,0(O在该点的切线斜率为1 顶 点:)0,(,aBA 极值点:a46a42 曲率半径:ra32 双纽面积:2a极 值:对应点:DDCC,xyoABCCDD结束 伯努利双纽线的轨迹特点伯努利双纽线的轨迹特点xyo1F2F221aOFOF 双纽线上的点 M 满足:22121aMFMF 以1F为圆心,a21为半径作圆,自O 作射线交圆于P,Q 则双纽线右支上的点满足:PQOM M QP由对称性,左支也有类似结果结束 2sin22ar伯努利双纽线伯努利双纽线点击图中任意点动画开始或暂停 结点(同拐点):)0,0(O在该点的切线为 x,y 轴 顶点:),(,2222aaBA 极值点:44108ay 曲率半径:ra32 双纽面积:2a4412ax极 值:yxayx22222)(即对应点:DC,aABCD结束 2,0,3cos ar2,0,3sin ar三叶玫瑰线三叶玫瑰线aa点击图中任意点动画开始或暂停结束 2,0,4cos ar2,0,4sin araa四叶玫瑰线四叶玫瑰线点击图中任意点动画开始或暂停结束