《导数及其应用》单元测试.docx

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1、C、f (0) +f (2) 2f (1)D、f (0) +f (2) 2f (1)导数及其应用单元测试一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1.设函数f()在/处可导，则IimX。一一/。)等于(c)rOXA.fx0)B.f-X0)C.,(x0)D.,(-X0)2 .若函数f(x)的导数为f(X)=Sinx,则函数图像在点(4,f(4)处的切线的倾斜角为(C)A.90B.0。C.锐角D钝角3 .函数y=3-3x在-1,2上的最小值为(B)A、2B、-2C、0D、-44 .设函数J(X)的导函数为了(X),且/(x)=+2%r,则尸(0)等于(B)Ax0B、YC、-2D、25

2、.已知f(x)=x3+a2+(a+6)x+l有极大值和微小值，则a的取值范围为(D)A、一la2Bn-3a6C、a2D、a66、设函数f(x)=k+3(k1)犬一公+1在区间(0,4)上是减函数，则的取值范围是(D)A、kB00,则必有(C)A、f(0)+f(2)0,对于随意实数工，有/(x)0,则哥的最小值为(C)A.310、Ar)是定义在区间-c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(X)的叙述正确的是(B)1=/frtFA.若*0,则函数g(X)的图象关于原点对称.IB.若=-l,2VbVo,则方程g(X)=0有大于2的实根.八|厂C.若“0,b=2

3、,则方程g(x)=O有两个实根.D.若Ql,bv2,则方程g(X)=0有三个实根.二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)1Q1111 .求/(x)=si?-的导数v,=-ysin2cosXXXX12 .曲线S：y=3-S的过点A(2,-2)的切线的方程是y=-9x+16或y=-213 .设P为曲线C：y=f+2+3上的点，且曲线C在点尸处切线倾斜角的取值范围为0,；,则点尸横坐标的取值范围为一14 .设函数/(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在冗=5的切线的斜率为015 .已知直线x+2y4=0与抛物线y2=4x相交于4、8两点，。是坐标原点，P是抛物线的弧力卷上求一

4、点P,当P48面积最大时，P点坐标为P(4,一4).三、解答题(共6小题，共75分)16、(本题满分12分)对于三次函数/(x)=0+z2+c+d(qw0),定义:设/(X)是函数y=/(%)的导函数.v=(x)的导数，若/(X)=O有实数解，则称点(Jao)为函数V=/(x)的“拐点”。现已知/(x)=-3x2+2x-2,请解答下列问题：(1)求函数/(R)的“拐点”A的坐标;(2)求证/(X)的图象关于“拐点”A对称;并写出对于随意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明).16n解析(1)z(x)=3x2-6x+2,/(工)=63一6.令/(工)=61-6=()得x=l

5、,f(l)=F-3+2-2=-2.拐点A(l,-2)(2)设P(XO,%)是y=(x)图象上随意一点，则.%=-3片+2/一2,因为P(Xo,%)关于4(1,-2)的对称点为尸(2-%,-4一%),把P代入y=f(x)得左边=-4%=X；+3x2x02,右边二(2x0)33(2x0)2(2x0)2=x+3x-2x02右边=右边.P(2-%,-4-%)在)，=/(幻图象上.y=/a)关于A对称猜想：全部的三次函数图象都关于它的拐点对称。17.(本题满分12分)已知函数/(x)是(0,+oo)上的可导函数,若#(x)/(x)在X0时恒成立.(1)求证：函数g(x)=。在(0,+8)上是增函数；X(

6、2)求证i当王0,工2。时，有/(X+/)/(%)+/(工2),17.(1)由g(x)=四得K)=矿；幻.因为#(x)/(x),X X所以,(x)0在X。时恒成立，所以函数g(x)=0在(0,+)上是增函数.X(2)由(1)知函数,内幻=也在(0,+o)上是增函数，所以当为0,x20时，X有21/U!)+.y2)/32)成立,x1+x2X1,x+X2X2从而/(Xi)-/(I+X2),/U2)/(x1)+/(x2)18.(本题满分12分)已知函数/(x)=xlnX.(I)求/*)的最小值；(11)若对全部xl都有AX)0x-1,求实数。的取值范围.18.解析：F(X)的定义域为(0,+8),1

7、分f(x)的导数f(X)=I+lnx3分(x)0,解得x,;(x)0,解得()xl时，g(x)=l-+lnxl-0,故g(x)在(1,+8)上为增函数，所以，xl时，g(x)g(l)=l-aO,即/(x)5-1.10分若01,方程(x)=0的根为x0=e0-,此时，若x(l,x0),则，(X)0,故g(x)在该区间为减函数.所以x(l,%)时，g(x)g(l)=l-av,即/(x)1时，因为g(x)=i-|0,故g(x)是(l,+oo)上的增函数，所以g(x)的最小值是g=1,13分所以。的取值范围是(-oo,l.14分19、(本题满分12分)请您设计一个帐篷。它下部的形态是高为Im的正六棱柱

8、，上部的形态是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点。究竟面中心内的距离为多少时，帐篷的体积最大？【注5V柱体=S底，体=-Sg,-h19、解：设正六棱锥的高为Xm,则正六棱锥底面边长为J32-X2(单位：m)o2分于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：S=6(9-x2)2=(9-x2)04分帐篷的体积为(单位：m3)：V(x)=(9-x2)x+1=(9-x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27)(lx3)8分求导数，得U(X)=-竺(/+22令V,(x)=0解得x=-3(不合题意，舍去),X=Ie10分当0xO,V(x)为增函数；当lx3时，V(x)vO,V(x)为减

9、函数。所以当x=l时,V(x)最大。即当OOl为2m时，帐篷的体积最大。12分20.(本题满分13分)已知函数f=ax3+bx2-3x在=1处取得极值.(I)求函数f(x)的解析式；(11)求证：对于区间-1,1上随意两个自变量的值X“M都有Ifa)T(&)|W4,(11I)若过点A(1,)(m-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数In的取值范围.20.解：(I)f(x)=3a+2b-3,依题意，f(l)=f(-1)=0,即,解得a=l,b=0.f(x)=x3-3x.3a-2b-3=0(II) Vf(x)=x8-3x,f,(x)=323=3(x+l)(X1),当一lxl时,f(x)得所。

10、或所L g(m)在(-8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.：.函数g(xo)=2x-3x+/n+3的极值点为Xo=0,Xo=I12分 关于X。方程2町-3君+而+3=0有三个实根的充要条件是 *()0,解得一3m-2.故所求的实数a的取值范围是一3mg(x)+g;(ID)是否存在实数。，使/(x)的最小值是3,若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.1 -21.解：(I),./(x)=X-nX9f,(x)=1=1分XX 当0vxl时，/(x)0,此时/(力单调递减当10,此时/(x)单调递增3分 f(x)的微小值为/=14分(11)f(X)的微小值为1,即/(X)在(0,

11、e上的最小值为1, /(X)0,/(x)min=l5分a,/、/、1InX1“、1-InX八令(x)=g(x)+二=+-,Ii(%)=,6分2x2X当OVXee时,(%)0,在(0,e上单调递增7分 力(x)max=(e)=J+=1=I/(x)Imine222 在(1)的条件下，F(X)g(x)+g9分(11D假设存在实数，使/(x)=0r-lnx(x(O,e)有最小值3,f(x)=a-=ax9分XX4当()时，/(x)在(0,e上单调递减，/(x)min=/(e)=-l=3,a=(舍去),e所以，此时/(x)无最小值.1。分当0,e时，/(x)在(O,)上单调递减，在(L,e上单调递增aaa/()min=/()=1+In=3,。=/，满意