2023年印度IMO代表队选拔赛试题.docx

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2023年印度IMO代表队选拔赛试题第一天1 .令工gW用打为非常数多项式.假设工g均不是实系数多项式的平方，但(X)是一个实系数多项式的平方.证明：虱於0)不是实系数多项式的平方.2 .设为与6互质的正整数.我们对正边形的各顶点用三种颜色染色，使得染每一种颜色的顶点数都是奇数.证明：在这些顶点中可以找到颜色互异的三点，它们构成等腰三角形.3 .设5=(-1,0)和C=(LO)为坐标平面上的定点.称坐标平面一个非空有界子集S为“美好”的，如果i)对任一点0S,存在一点TS,使得线段T0完全位于S内；ii)对任意三角形尸1尸2尸3,存在唯一的一点ZES及下标1,2,3的一个排列。使得两个三角形月5C与尸O(I)Pa2pa3)相似.证明：集合(x,y)IX0,y0存在两个不同的“美好”的子集S,S；满足如果月WS及ZYS是条件ii)中所分别对应其次天的唯一点，则乘积R4R4，为与三角形PxP1P3无关的定值.第三天第四天