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1、2023-2023学年其次学期高数期末考试题一.填空题(每小题4分,共20分)1 .Z=4d+9y2点(2,1)的梯度歹4心=16,18.2 .f(x,y)=4+y4-X2-2xy-(U),(T-1).3 .假设L为圆周f+y2=片的右半部分,则L后丁ds=a.=0.4 .设24=0飞111力+(2%2+2)/+%2丁2及,则力4()5 .设y=3,%=3+/,%=3+无2+e都是方程(x2-2xy-x-2y,+2x-2y=6x-6的解,则该方程的通解为y=C1X2+C2ex+3.二,(本题8分)计算三重积分Dl(X2+y2+z2%,其中。是由V+/+Z2=1所围成的闭球体.原式=J(JdeJ
2、;域/2sindr=三 .(本题8分)证明:/(x,y)=TR在点(0,0)处连续,A(。,0)-v(0,0)存在,但在(0,0)处不可微(1)因为15屈=O=/(0,0),y0所以/(%,y)=洞在点(0,0)处连续.力(0,0)=Iim/3,。)一/。)=0,x同理4go)=。,所以力(0,0)与4(0,0)存在.aw.r-0)Ax+v(0,0)3;(3)因为hmlJ.不存在,忆片x2+所以/(x,y)在(0,0)处不可微.四 .(本题8分)设函数(%,y)有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式=rcos6,y=rsin,将型_y型变换为匕。下的表达式.yx由X=rcos,y=rsi
3、n。得到r=Jx2+y2,=arctan,从而XSine CoSer ydrdr.一=cos,一=sin=xyxT日uuujtexy=.yx五 .(本题8分)$竺二单,其中L为:JLX2+/(1)圆周(-lf+(yT)2=l(按反时针方向)(2)闭曲线国+3=1(按反时针方向)圆周(xT)2+(yif=1(按反时针方向)由于线=当(,y)(o。,利用格林公式,xyfxdy-ydx匕X2+y2(2)闭曲线忖+3=1(按反时针方向)作小圆/广:Y+y2=储,取顺时针方向,r xdy . ydx J x2 + y2则在复连通区域上用格林公式有=2rxdy-ydx22x+y六 .(本题8分)计算JJy
4、dS,E是平面x+y+z=4被圆柱面Y+-y2=截出的有限部分.z=4-x-y,dS=dxdy在My面的投影区域为D:/+y21则JJydS=JJCydxdy=0(对称性)D七 .(本题8分)计算曲面积分=JJyzdzdx+2渥%其中3为上半球面Z=Jf_y2的上侧.:Z=y4-x2-y2,取上侧,即法向量=%,y,z,利用对坐标的转换dzdx=C0S7dxdy=dxdy,COS/Z2在My面的投影区域为。:Y+y24贝J=JJyzdzdx+Idxdy=jj(y2+2)dxdy=JJ(V+2)公力=12;TD八 .(本题6分)求微分方程电+1=型的通解.dxXX通解为:y=C-8S%.X九 .
5、(本题6分)求微分方程2y+y-y=2e的通解.通解为:y=G/+。2+/十.(非化工类做)(本题6分)(1YI求幕级数WWprX2T的收敛域.收敛域为-2,2十一.(非化工类做)(本题7分)将函数/(X)=J展开成麦克劳林级数,2+x-x并确定其成立区间i7区(T广,扑,Xe(TI)z+x-x3=oL/十二.(非化工类做)(本题7分)设函数f(x)是以2为周期的周期函数,它在-匹上的表达式为f(x) = J11-x00x将其展开成傅立叶级数,并确定其成立范围12一1sin(2-l)x, x0, 匹2匹3万X=0,匹2万,3加寸(%)的傅立叶级数收敛于0.十.(化工类做)(本题6分)求微分方程(3d+6xy,2)dx+(x1y+4y3dy=0的通角翠通解为:丁+3x2y2+y4=C十一.(化工类做)(本题7分)$XdS,其中Z为直线y=X及抛物线y=X2计算所围成区域的整个边界.fxds=fx1+4x2dx+忑IXdXJLJ0J0=(55-l)+2y十二.(化工类做)(本题7分)求微分方程y+上y2R的通解.-y通解为y=l1C1x+C2