中科大《线性代数与解析几何》讲义7实二次型.docx

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1、第七章实二次型在解析几何中一般方程所表述的二次曲线（或二次曲面）可通过所在空间的坐标平 移或旋转化为所渭的标准型,进而可对所有二次曲线（或曲面）进行分类特别,对于空 间中一个有心二次曲面的一般方程首先经过坐标平移后化为如下形式a 1 Xf + a22 2 + a33 3 +2a 2X1X2 +2ai33 +2a23x2x3 = 1通过坐标的旋转变换 = y cos 1 + y2 cos。2 + y3 cos c,2 = y cos + y2cos 2 + y3s 3,3 = yi COS Y1 + y2 COS Y2 + y3 COS Y3 .上述曲线方程变为下列标准形式 yf + 2yl +

2、 3 yi = 1系数 1 .2 ,3的符号就确定了二次曲面的类型如 1 ,2 ,3都是正的,曲面是椭球面 1 O,2 O,3 2C3llt% .12CT5*.：!CWKcot jcos）、该变换将曲线方程左边的二次齐次多项式变成不含交叉项的二次齐次多项式所谓k次齐次多项式是指满足下列条件的多元多项式F （X1 ,，Xn）:F （t , ,tXn） = tk F（ ,Xn）所以Q（ ,2 ,3） = a 1X? + a22 2 + a33 X3 +2ai2 X1X2 +2an 3 +2a23 2x3就是一个二次齐次多项式当然G（y ,y2,y3） = 1y?+ 2yf + 3yi也是一个二次齐

3、次多项式本章的目的就是要研究n维空间（或者说包含n个变元）的二次齐次多项式经过满 秩的线性变换,化成没有交叉项的简单的形式（即所谓的标准形），以及二次齐次多项式在 变换过程中系数的变化规律,并称具有n个变量的二次齐次多项式为二次型.本章只讨 论系数为实数的二次型一实二次型.?7.1二次型的矩阵表示在实数域上一个含个变元1 , ,Xn的二次型Q(Xl ,xn)的一般表达式如下Q(x , . ,x) =an X? +2ai2 X1X2 +2ai3 X1X3 + , +2amx+ 322 2 +2a23 23 + . +2a2n2n+ + anx这里系数aj是实数借助于矩阵,可以将二次型表示成为一种更加对称的形式 n nQ(1 , ,Xn) =aijiji= 1 j= 1这里aj = ay, i bijyyj = Zji.j=2i=2这里T是n - 1阶的对称矩阵于是,将两步线性变换进行复合,得G L） / Isl=Sl 匕 I = S 10：）IOTIRlXnyZn即对应的变换矩阵是2如果所有的aii = O, (i = 1, 2,，n),但至少有一个对0(j 1),不妨设a2 0, 令 = y - y22 = y + y2I 3 = y3Xn = yn它是可逆的线性变换,对应的变换矩阵为0 )1 -1011 0 0P = I00 i0.I:.I0 0 0 使得Q(Xl