立体几何知识点.ppt

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1、章末归纳总结章末归纳总结 1知识结构 2.规律方法总结 (1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上 (2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内 (3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直 (4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义 (5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行 (6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质 (7)证线面垂直：常用判定定理、定义 (8)证面面垂直：常用判定定理、定义 (9)求二面角、直线与直线

2、所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角 3空间中的垂直关系、平行关系的判定方法归纳如下： 表1直线与直线平行 文字语言图形符号语言直线与直线平行定义：在同一个平面内，没有公共点的两条直线平行.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行.文字语言图形符号语言直线与直线平行公理4：平行于同一直线的两直线平行(平行线的传递性)直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 表2直线与平面平行 文字语言图形符号语

3、言直线与平面平行定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行.直线a与平面无公共点a直线与平面平行的判定定理：如果不在平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 表3两平面平行 文字语言图形符号语言平面与平面平行定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.文字语言图形符号语言平面与平面平行推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，则这两个平面平行.平行于同一平面的两个平面

4、平行(平行平面的传递性) 表4直线与平面垂直 文字语言图形符号语言直线与平面垂直定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.文字语言图形符号语言直线与平面垂直推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 表5平面与平面垂直 文字语言图形符号语言平面与平面垂直定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就称这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的

5、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 4.本章所涉及的一些思想方法： (1)数学研究的对象有两大块数量关系和空间形式其中“空间形式”主要是由几何研究的立体几何是训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材在训练发展思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作用 第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知认识空间图形 本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研究以四个公理为基础，通过定义定理的形式，构建立体几何的大厦通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能力 立体几何在中

6、学数学中的重要地位还表现在它与平面几何、集合、函数、方程的联系上贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法 (2)深刻体会转化思想 立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思想 点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距线面距点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面的距离，AB与相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P到平面的距离等等 通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通过等体积变换，使问题变为可求的转化策略 通过添加

7、辅助线面，将空间问题化为平面几何问题的降维转化策略 (3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法 平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面转移等 平行投影与中心投影，特别是正投影 等积变换与割补 展开、卷起、折叠、旋转 数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问题的方法过程中又丰富了数学思想 (4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立体几何的一些结论，从而提供思维的方向 一、转化的思想 例1如图所示，AB为 O的直径，C为 O上一点，AD面ABC，AEBD于E，AFCD于F. 求证：BD平面AEF. 分析要证BD平面AEF，已知BDA

8、E，可证BDEF或AF；由已知条件可知BC平面ADC，从而BCAF，故关键环节就是证AF平面BDC，由AFDC即可获证 解析AB为 O直径，C为 O上一点， BCAC， 点评证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其转化关系 例2四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点 (1)求证：PB平面ACE； (2)若PBAC，且PA2，求三棱锥EPBC的体积 解析(1)设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O，则O为BD中点，又E为PD中点，EOPB， PB

9、平面ACE，EO平面ACE，PB平面ACE. (2)作PF平面ABCD，垂足为F，则F在AD上， 又PAPD，F为AD中点，连BF交AC于M， PF平面ABCD，AC平面ABCD，ACPF， 又ACPB，PBPFP，AC平面PBF， ACBF， ADPA2，AFFD1，BC2， 例3正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点 (1)求证：BN平面AMB1； (2)求三棱锥BAB1N的体积 分析线面垂直与线线垂直转化，立几问题向平几转化，等积变换 解析(1)M为BC中点，ABC为正三角形， AMBC，又侧面BCC1B1底面ABC， AM平面BCC1B1，又BN平面

10、BCC1B1， AMBN， 在正方形BCC1B1中，M，N分别为BC，CC1中点， B1MBN(想一想为什么？)， BN平面AMB1. 二、展开与折叠、旋转 例4如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是 () A平行 B相交且垂直 C不相交也不平行 D相交成60 解析本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力，如图折起后，B与D点重合，AB与CD成ABC60，选D. 答案D 例5已知RtBAC中，ABACa，AD为斜边BC上的高，以AD为折痕使BDC折成直角(如图所示) 求证：平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC. 例6已知三角形ABC的边长分别是AC3，BC4，AB

11、5.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积 解析旋转问题，以AB为轴旋转得到两个同底的圆锥组合体易求体积为 三、反证法 例7求证：不在同一平面的两两相交的三条直线必共点 分析要证三线共点，只需证其中两线相交于某一点，然后再证明另一条直线也通过这一点，或通过反证法得出 解析方法1：如图， a，b，c两两相交； 设a，b确定平面，b，c确定平面，a，c确定平面，且abO， Oa，O， Ob，O， O， Oc(公理1)， a，b，c交于一点 方法2：(反证法)设abO，a，b确定平面， 若c不过O点，设acO，bcO， 则O，O，则c， 此与a，b，c不在同一平面矛盾，a，b，c

12、交于一点 点评证三线共点，先证两直线交于一点，再证另一条直线也过这一点，是常规思路，而反证法也是立体几何中经常使用的数学方法，一般步骤为：反设，作出与结论相反的假设；归谬，由所作假设连同已知条件出发，通过逻辑推理导出矛盾(与假设或已知条件、公理、定理矛盾)；判断，矛盾的产生由假设错误引起，故原结论正确以上三步骤缺一不可 解析本题是等积变换问题，考察三棱柱体积和分析解决问题能力，解决时，可特殊化，取正三棱柱考察，一般处理时，可做垂直于一条侧棱的截面 答案B 例9如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF ，EF与面ABCD的距离为2，求该多面体的体积 解析

13、本题是割补(等积变换)问题，分别取AB、CD的中点M，N，则平面FMN平面ADE， 几何体ADEMNF是一个棱柱，几何体FBCNM是一个棱锥，易求得体积为 例10已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD，如图所示，ADAB，ADDC，AB2a，BC a，CDa. (1)请在图中设计一种虚线，沿虚线翻折可成原来的三棱锥(指三棱锥的三个面)； (2)求这个三棱锥外接球的体积 解析展开与折叠问题 (1)如图所示，取AD中点E，连结EC，EB，沿EC，EB折起，使点A与点D重合 下面证明以上述方法所得的四面体每个面都是直角三角形 所以BEC为直角三角形，且ECB90，即

14、ECBC，又因为AEAC，AEAB，所以AE平面ABC，所以AC是EC在平面ABC内的正投射，ACBC，所以ABC也是直角三角形，故四面体ABCE四个面都是直角三角形 五、侧面积与表面积 例11已知：正三棱锥SABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30，D为侧棱SC的中点，截面DEF过D且平行于AB，当DEF周长最小时，求截得的三棱锥SDEF的侧面积 解析本题是侧面展开问题，如图所示，将正三棱锥侧面展开，可得三个顶角均为30，底边长为a的等腰三角形，D为SC的中点，DD的连线长即为最短距离 DDCCAB， E、F即为相应的E、F. 下面求DD的长 在SCB中， BCa， CSB30， 则SCSB

15、 (2)在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，设ABC，ACD，ADB，BCD的面积分别为S1，S2，S3，S，则有_” (3)在平面几何里，一个斜三角形ABC，A到BC的距离为d，BC的边长为l，则SABC ld，类比这一结论，在立体几何里，一个斜三棱柱ABCA1B1C1一条侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为d，侧面BB1C1C的面积为S，则斜三棱柱的体积为_ (4)在平面几何里，梯形A

16、BCD上底ABa，下底CDb，则中位线EF (ab)，类比这一结论，在空间中台体上底面积S上，下底面积S下，中截面面积S中有_ (5)在平面几何里，有“平行于同一条直线的两条直线相互平行”的 结 论 ， 类 比 它 可 以 得 出 空 间 中 关 于 平 面 的 命 题 ：_. 答案平行于同一平面的两个平面相互平行 *七、距离问题 *例13三棱台ABCA1B1C1中，侧棱CC1底面ABC，ACB90，ACB1C1a，BC2a，AB1与CC1成45角，D为BC中点， (1)B1D与平面ABC的位置关系如何？ (2)求三棱台的体积 (3)求A1C1与平面AB1C的距离 解析空间的平移，线面距向点面距转化，再向点线距转化 (1)BC中点为D且B1C1a，BC2a，则B1C1綊CD，B1DCC1，CC1平面ABC， B1D平面ABC. 解析一般锥体、台体平行于底面的截面问题都是通过相似关系加以转化 要求截面和底面之间的距离，只需求出SO1和SO即可，由已知易知SO6cm，所以只需求出小棱锥的高SO1(如图) 设SO是大棱锥的高，它与截面相交于O1，则O是六边形ABCDEF的中心 AB8cm，且