二重积分习题及答案.ppt

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1、1 1 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. . 解解 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 2 2 计算积分计算积分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 3. 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2

2、122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成 .yxeyxDyxdd122(2) 积分域如图:o1yx11D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得111 xyo4. 计算二重积分计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分两部分, 则则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中其中D 为圆域

3、为圆域把与把与D 分成分成1D作辅助线作辅助线xy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD两部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线2D将D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(325 计算计算 1:,)(22 yxDdxdyyxD积分区域积分区域D关于关于x、y轴均对称轴均对称,分析分析 yxyxf ),(被积函数被积函数关于关于x,y均是偶函数，利用对称性均是偶函数，利用对称性去掉绝对值符号去掉绝对值符号. 解解 采用直角坐标采用直角坐标 Ddxdyyx)(【注注】在利用对称性计

4、算二重积分时，要同时考虑被积在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇偶性偶性. 21010)(4xdyyxdx38 .)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa6写出积分写出积分 Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形的极坐标二次积分形式，其中积分区域式，其中积分区域,11| ),(2xyxyxD 10 x. 1 yx122 yx解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd7计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy8