从平面到空间的类比推理.docx

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1、专题一：从平面到空间的类比推理类比是教学命题推广的根本方法之法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里,发觉真理的主要工具也是归纳和类比.“类比推理就是在两类不同事物之间进展比照.找出假设干一样或相像点之后，推想在其他方面也可以存在一样或相像之处的一种推理模式.从龙辑上说，类比推理就是将命的的外延扩大.类比推理一般具有如下三个特点：(1)类比是从人们已经驾驭了的B物的属性，推想正在探讨的少物的属性，是以旧有的相识为根底.类比出新的结果：(2)类比是从一种事物的特别属性推想另一种事物的特别属性：(3)类比的结果是揣测性的，因此，类比推理得出的结论不肯定正确，有待证明，但它却有探究、发觉的功能,有

2、助干我们提示自然界的奇妙.类比推理的一般步骤是：找出两类肉象之间可以准确表述的相像特征：(2)用一类对象的特征去推想另一类对能的特征,从而抽望.概括出一个掂测：(3)检验排测.近几年来.在全国各地的模拟试也和高考试跑中,接连出现从平面到空间的类比推理时,这些应目立意新奇,内涵深刻，大多以填空SS的形式出现，不须要严格的证明.只须要揣测出正确的结论即可.旨在考察学生视察-分析-比拟-联想-类比-,m猜O想的探究实力和创新意识IU纳起来,主要有以下几种类型：一、平面几何定理类比到立体几何定理平面是空间的一局部，因此，平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去.数学家波利亚的指出：“类比是一个宏大的引

3、路人，求解立体几何问即往往有赖于平面几何中的类比问题.类比方法，“直IT类比为,“角”类比为-,角的两边,类比为.等.例1；对于平面几何中的命题：“假如两个角的两边分别对应垂山，那么这两个角相等或互补.”在立体几何中，类比上述命即，可以也到命题：-.”其应假性是.我们所熟识的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如：(I)平儿：平行于同始终线的两直线平行：立凡：平行于同一平面的两平面平行.(2)平儿：垂直于同始终线的两直线平行：立几：垂直于同一平面的两直线平行：垂宜于同始终线的两平面平行.(3)平儿：假如一条真战废出于两平行直.线中的一条IiI戏，那么它也和另一条百.线垂包；立几：

4、假如一条直处垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂克：假如一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂(4)平几：假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；立几：假如一个二面角的两个面与护一个二面用的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补.二、平面几何BB形类比到空间几何体点、缓、面是构成空间几何体的根本元素,构成几何体离不开平面图形,有不少几何体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特别几何图形的性质也可以类比推广到相而应的特别空间几何体中去.,一评面中的三角形类比到空间中的1 .它角三角形类比到类比方法1,“直角三

5、角形的亶角边长、斜边长类比为“.例2(2003广东卷)在平面几何里,有勾股定理；,SABC的两边AB、AC相互乖H.5AB-+AC2=BC-,拓展到空间.类比平面几何的勾股定理.探讨三棱锥的(W面积与底面面枳间的关系,可以得出的正确结论是：“设-:梭椎A-BCD的三个仰面ABC、ACD.ADB两两相互垂那么.变式:iABC1.,.AB1AC.AD1.BC.D为垂足,那么ABjBDBC(射影定理).类似他，三极锥ABCD中，ADj_平面ABC,AO，平面BCD.O为垂足，且O在ABCD内.那么SBCS-Be0，S-8三者之间满意关系式类比方法2；“直角三角形的亶角边长、斜边上的高类比为“r.例3

6、（2021深圳调研理）RtABC.两直角边分别为a、b,设h为斜边上的高,那么二=J+-V山此类比：三枝推SABC中的三条侧极SA、SB.SC两两垂出.ha-b2且长度分别为a、b、c.设校锥底面ABC上的高为h,那么有结论变式：RtABC的两直角边分别为a、b,那么其内切切半径，=（：+H）-Ir:用此类比：三棱推S-ABC中的三条（H技SA、SB.SC两两垂H，且长度分别为u、b.C那么其内切球半径R=2 .正三角形类比到类比方法1：”正三角形的高类比为”.例4平面几何中,有结论：“正三角形内随意一点到三边的柜离之和为定值,且定值等于该正三两形边长的倍.类比这一结论,将其拓展到空间，可得到

7、结论：例5（2021铝关调研理正三角形内切圆的半径是高的1/3,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论足.类比方法2：”正三角形的中心类比为.例6在平面内.自一点。至多能引3条射线OA、OB,OC.使它们两两成等角,且两两所成的角为20n类比到空间，自一点O至多能引条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为.3 .一般三角形类比到类比方法1：”三角形的面积类比为“”.例7（2021梅州一模文）ZXABC的三边长为a.b,c.内切网半径为R用S-ABC表示ABC的面积）,那么S.ABcEa+by）2:类比这一结论有：线设三梭锥A-BCD的内切球半径为R,那么三桢锥体枳加Vabcd=.例8（20

8、01广东卷教材P78练习3例9假设点D在AABC内，那么有结论SWBC5A+SVAM丽+sAaM衣=I把命即类比推广到空间,假设点。在四面体ABCD内,那么有结论：类比方法2：“三角形的Sr类比为“.例10（2021汕头一模理）-P是AABC内一点,AABC三边上的高分别为h*hB.he.P到三边的距离依次为/“4，.而么有3+3+&=:类比到空间，设P儿%是:梭椎A-BCD内-点.四顶点到对面的矩离分别为hA.hB.hc.ho.P到这四个面的距肉依次为IJJJ.那么有.，二,平面中的气别四边形类比到空间中的特别1 .平行四边形类比到类比方法：“平行四边形的边、对角线”分别类比为m.例I1.平

9、面几何中,有结论：“平行四边形两条对用线的平方和等于四条边的平方和.类比这一结论，将其拓展到空何，可得到结论：。2 .矩形类比到类比方法1：”矩形的边、对用线类比为“”.例12FW设P是知形ABCD内曲意一点,那么有结论PAPC?=PB+PD?成立，类比到空间,假设P是长方体ABCD-A1.BCD内随意一点，那么有结论成立.例13矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成的角分别为以夕，那么cos2+cos2=1.把它类比推广到长方体中，试写出一个相应的真命题：类比方法2：“矩形的外接圆类比为”.例14设矩形ABCD的外接KI半径为r.P是矩杉ABCD的外接圆上随意一点，那么PA:+PB2+P

10、C2+PD2为定(ft：类比到空间.设长方体ABCDAHCQI的外接球半径为R.P是长方体ABCD-AB1.CD的外接球上随遛依.那么PA,+PB2+PC2+PA2+PBF+PCr+PD1-为定值(=1平面中的特别平面图形类比到空间中的特别流转体1 .BI类比到球园是平面内到定点的距肉等于定长的点的集合球是空间中到定点的即M等于定长的点的集台：用随意一个平面去榄球,搬面郎是酸，这些都确定了圆与球有很深厚的邨源.类比方法1：“国的面枳*类比为“球的体积”.例15(2006湖北卷半径为r的圆的面枳S(r=仃？,周长C(r)=211,假设将r看作(0.+8)上的变境,那么(=2*r,式可以用语言衣达

11、为：圆的面枳脸数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,线设将R有作(0.+8)上的变量,请你写出类似于的式子：，式可以用语言表达为：类比方法2：“圆的内接矩形”类比为.例16通过圆与球的类比，由“半径为R的酸的内接H，形中，正方形的面枳最大，最大值为2揣测关于球的相应命跑为:.2 .梯形类比到类比方法1：“平行于梯形上、下底的线段类比为“*,“悌形的上、下底边长类比为.例17悌形ABCD,AB=a,CD=b(ab),E、F是覆AD、BC上两点，且EF/ABVCD.慑设段EF将梯形的面枳：等分，加么T=亨一类比上述结论，板设留台的两底半径为R,R力，作平行于底的假面，假设裁面将圆台的侧面枳二

12、等分，那么截面半径为：假设截面将BI台的体枳二等分,那么截面半径为.类比方法2；“梯形的上、下底边长类比为-,“平行于梯形上、下底的线段长”类比为“,.例18梯形ABCD中，AB=a,CD=b(ab).E、F是腰AD、BC上两点，口EFAB/7CD.且EF到CD与AB的距离之比为m：n,那么可推道出EF=吧土约.类比上述结论,假设IBff的上、下底面积为$、S25(SiS2).一个平行于底面的截面到网台上、下底面的矩高之比为m：n,假设此破面的面积为So,那么&与ScS?的关系式为.三、平面对激类比到空间向汽由于空间向量是平面对量在空间的推广，空间向同根本定理也是平面对1根本定埋的推广，因此，

13、两者之间必定存在存广泛而深刻的联系，它们在加、减、数条、数设积方面具有一样的运算律，而它们的坐标运算那么特别相像.类比方法I：”平面对量的二维坐标运匏”类比为”空间向量的-：维坐标运5T.例19设向量=(x,力)，b=(x2.y2s),那么由平面对量数量积公式可得bWIb,即有不等式，gx1+y1y2户(x+y)2(2+y2)-.将平面对Mt类比推广到空间向此可以得到一个类似的不等式：.类比方法2共线向量类比为.，”不共战向量”类比为“*.例20载设点O在直线AB外，那么点P在自我AB上的充要条件是OP=.x+yOBF1.x+y=,类比到空间，假设点O在平面ABC外，那么点P在平面ABC内的充

14、要条件是例21类比正确命题“假设A、B、C三点不共线，D是战段AB的中点，那么CD=-(C+Cfi),给出空间中的一个恰当正确物鹿：.2四、平面解析几何类比到空闾解析几何空间解析几何是平面解析几何在空间的推广，其坐标表示由二维(x，y)延拓到三维(X.y.ZA因此,两者之间也必定存在着非同寻常的关系.例加：平面解析几何中直线方程的般式AX+By+C=0与空间解析几何中平面方程的一般式AX+ByYz+D=O是一脉相承的：圆心为(a,b),半径为1的圆的标准方程(x-a)2+(y-bF=r2与球心为(a,b.c)半径为R的球的标准方程(x-a)2(y-b)2+(Z-O2=R2也“本是同根生”.类比方法：“平面解析几何中的在线类比为.例22类比平面内一点P(My“倒直线Ax+By+C=0+B2W()的距离公式,掂测空间中一点P(xO)作出推广，f史它们都是你所推广的函Xx数的特例.探讨推广后的函数的球调性(只须写出结论,不必证明)二、圆锥曲线与圆的类比2.在网2+y2=r2中,AB为直径,P为网上一点,假设PA,PB的斜率1.vkp都存在,那么kcp=-1.在圆锥曲线中也有类似结论吗?