模糊数学模糊数学基本知识.ppt

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1、 模糊数学 本章主要内容本章主要内容模糊数学基本知识模糊数学基本知识模糊聚类分析方法模糊聚类分析方法模糊综合评判方法模糊综合评判方法 天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低v在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。模糊数学的创立及发展vZade

2、h 扎德教授扎德教授1965年，年，模糊集合论模糊集合论v“隶属函数隶属函数”“模糊数学模糊数学”的诞生的诞生v量量确定性经典数学确定性经典数学不确定性不确定性v随机性统计数学随机性统计数学v模糊性模糊性Fuzzy 数学数学v模糊子集及其运算模糊子集n普通集合论中，论域普通集合论中，论域U中的每个元素中的每个元素x，对于子集，对于子集 A U，只能有，只能有x A与与x A 两种情况两种情况.子集子集A由特征函数来由特征函数来CA(x) ：U0，1刻划刻划一、模糊数学基本知识AuAuxCA, 0, 1)(特征函数特征函数CA (x) 仅取两个值，在表达概念方仅取两个值，在表达概念方面有其局限性

3、，只能表达面有其局限性，只能表达非此即彼非此即彼的现象，的现象，不能表达存不能表达存 在于现实中的在于现实中的亦此亦彼亦此亦彼的现象的现象v设H=年轻人， Y=中年人，O=老年人。v“年轻”与“年老”之间，不存在明确的边界，中间经历一个从量变到质变的连续过渡过程。这样用经典集合论难以表达。=以普通集合论为基础的数学方法，难以处理一些模糊概念。v模糊数学是将二值逻辑0，1拓广到可取0,1闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。v模糊逻辑是对二值逻辑的扩充。关键的概念是：渐变的隶属关系。v一个集合可以有部分属于它的元素；（渐变）v一个命题可能亦此亦彼，存在着部分真部分伪。（不完全确定）论域论域U上的

4、模糊集上的模糊集A由隶属函数由隶属函数uA来表征，来表征， uA的大小反映了的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。对于模糊子集的从属程度。模糊子集完全由隶属函数来描述。模糊子集完全由隶属函数来描述。v模糊子集的表示方法（1）向量法（2）查德表示法有限集无限集例例4 设设U=1,2,3,4,5,6, A表示表示“靠近靠近4”的数，则的数，则 A F (U)，各数属于，各数属于A的程度的程度A(ui) 如表如表。 模糊集举例模糊集举例 u 1 2 3 4 5 6A(u) 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2则则A可用不同方式表示如下：可用不同方式表示如下：(2)Zadeh法法：62 . 058

5、. 04138 . 022 . 062 . 058 . 04138 . 022 . 010 A(1)向量法：向量法：A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)v模糊子集的运算及其性质v（1）模糊子集的运算如果集合为空，可推，隶属函数取值为0，反之也成立。v设设A、B F (U), 若若 u U, uA(x) uB(x), 则称则称B包含包含A，记为，记为A B v补集的概念：补集的概念：v设设A、B F (U), 分别称运算分别称运算A B、 A B为为A与与B的的并集并集，交集交集，v其中其中V表示取最大值，表示取最大值，表示取最小值表示取最小值v例例1 1 设设 U=u1,

6、u2, u3 , u4,u5 求求A B、 A B ， AC 解：解：10.20.5uAB 23450.70.31 000.10.50.7uuuu123450.50.710.10.7uuuuuA(u1)B(u1)542153217 . 01 . 03 . 05 . 0,5 . 017 . 02 . 0uuuuBuuuuA 12345123451250.20.50.70.31000.10.50.70.20.3000.50.20.30.5 ABuuuuuuuuuuuuuA(u1) B(u1)542154321543215 . 013 . 08 . 05 . 0103 . 08 . 0 5 . 01

7、01117 . 012 . 01uuuuuuuuuuuuuuAc隶属度为零的隶属度为零的项省略项省略1-A(u5)v隶属度函数 目前隶属度函数的确定方法大致有以下几种： 模糊统计方法：用对样本统计实验的方法确定隶属度函数。 例证法：从有限个元素的隶属度值来估计模糊子集隶属度函数。 专家经验法：根据专家的经验来确定隶属度函数。 机器学习法：通过神经网络的学习训练得到隶属度函数。隶属函数参数化1. 三角形隶属函数xccxbbxaaxcbaxtrigbcxcabax 0 0),;( ; , , )max(min(,),0)xa cxtrig x a b cba cbv参数a,b,c,d确定了梯形四个

8、角的x坐标。当b=c时，梯形就退化为三角形。2. 梯形隶属函数0 ( , , ,)1 0 xabadxdcxaaxbtrap x a b c dbxccxddx( ; , , , )max(min(,1,),0)xadxtrap x a b c dbadc3. 高斯形隶属函数的宽度。决定的中心；代表MFMFcecxgcx ),;(2)(21v高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。4. 一般钟形隶属函数bacxcbaxbell211),;(v参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。v钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF。trig(x;20,60,80

9、)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)v(2)模糊子集运算的基本性质模糊集合间的并、交、补（余）运算模糊集合间的并、交、补（余）运算具有如下的性质具有如下的性质.1)幂等律幂等律2)交换律交换律3)结合律结合律4)吸收律吸收律AAAAAA,ABBAABBA;).()(),()(CBACBACBACBA.)( ,)(AABAAABA5）分配律）分配律 6)对合律对合律7)De Morgan法则法则8)常数运算法则常数运算法则)()()()()()(CABACBACABACBA;,AUAUUAAAAAABABABABAv模糊子集的截集及其性质v模

10、糊子集的截集1、水平截集 设A(U)，0, 1, 且 A= u | uU, A(u) 则称A为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。 模糊集的截集模糊集的截集A图图1.9 A的的 截集截集例1、设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截集解：A1= u3 A0.6= u2,u3,u4 A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 v模糊关系、模糊矩阵、模糊变换v（1）模糊关系( , )Rx y 设U,V是两个普通集合在直积空间在直积空间它以隶属度函数它以隶属度函数若中

11、的模糊关系称为中的模糊关系称为U上的模糊关系上的模糊关系.则把则把精确关系模糊关系表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在。表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互连是否存在或不存在的程度。是二个精确的集合。 ,| ),(),(VUYyXxyxVUR是二个论域。 ,),( |),(,(),(VUVUyxyxyxVURR其它。当只当（ 0)(), 1VURyxR( ,)0,1Rx y举例21xx123xxx35经典集合论的例子：设U= 红桃，方块，黑桃，梅花 V= A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K 求UV解：UV (红桃，A)，（红 桃, 2），（梅

12、花, K） 36模糊关系论例子：设有一组学生U: U= 张三，李四，王五 他们对球类运动V: V= 篮球，排球，足球，乒乓球 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）100来表示标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。 若A=140，150，160，170，180 B=40，50，60，70，80身高与体重的普通关系但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如下表所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。12nXXXX12( , ,)Rnx xx1,2,

13、iixXin 中的中的n元模糊集元模糊集R 如果如果U=V,即在同个空间中，一般在直积空间即在同个空间中，一般在直积空间就是用n元隶属度函数来表示的来表示的模糊集模糊集R其中：其中：例例1 设设x,y为汽车，则为汽车，则“x比比y好好”这种关系就是模糊关系，这种关系就是模糊关系，例例2 设设x,y指人，则指人，则“x和和y 相象相象”这种关系也是模糊关系这种关系也是模糊关系(2)模糊矩阵v矩阵：矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m个元素，集合B有n个元素、我们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系r11 r12 r1n R= r21 r22 r2n rm1 rm2 rmn其中rij=0或1，

14、1im，1jn。 模糊矩阵 当论域AB为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式来表示，该矩阵元素rij 仅在闭区间0，1中取值，即0 rij 1，此矩阵称为模糊矩阵。 r11 r12 r1n = r21 r22 r2n rm1 rm2 rmnR其中0rij1，1im，1jn。 模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中rij表示集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度。1 1 0 1 0 1 01 1 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 01 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 01 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1模糊关系的矩阵普通关

15、系矩阵例例 模糊矩阵的例子模糊矩阵的例子苹果，球，苹果，球，四棱锥，四棱锥7个对象个对象, 用模糊矩阵表示的用模糊矩阵表示的的的“相似相似”关系关系 模糊矩阵的运算： （a）相等：相等： ijAaijBbijijabAB记作: ijAaijBb模糊矩阵: （b）包含：包含：ijijabAB例例2 0.40.50.50.60.80.70.80.9ABmax,ijijijijijcabab（c）模糊矩阵的和模糊矩阵的和: 模糊矩阵C称为A与B的和的表示:ijCcABijAaijBbmin,ijijijijijcabab模糊矩阵A与B的直积C表示为： ijCcAB（d）模糊矩阵的直积模糊矩阵的直积而

16、直积 0.50.30.80.50.40.80.30.70.50.80.30.50.50.30.40.30.80.70.30.7AB0.50.30.80.50.40.80.30.70.50.80.30.50.80.50.40.30.80.70.40.8AB0 .50 .30 .80 .5,0 .40 .80 .30 .7AB和和（e）模糊矩阵积：）模糊矩阵积： 模糊矩阵 ijAaijBbmax min,ijikkjikkjkkCA Bcabab1112111221222122,aabbABaabb11111221111212222111222121122222()()()()()()()()ababababA Babababab则:例例5 设 0.80.70.20.4,0.50.30.60.9AB(0.80.2)(0.70.6)(0.80.4)(0.70.9)(0.50.2)(0.30.6)(0.50.4)(0.30.9)0.60.70.30.4A B模糊关系的合成模糊关系的合成12,R R12,R R12RR设 的合成，是指从U到W的一个模糊关系， 记为记为: 1212( , )( ,