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1、信息光学习题答案第一章线性系统分析1.1简要说明以下系统是否有线性和平移不变性.(Dg(6=Vf(X)；2)g(x)=J(*t;Xg(r)=/(X)；g(x)=J(c(x-)d;-X90(5)()cxp(-j2aia孵：跳性、平移不变：2)缓性、平移不变：非线性、平移不变:(4)设性、平移不变；5)设性、非平移不变，1.2证明comb-tw油(X)exp(j11x)+Comb(X)证明：左边-co力I)三-n)=-(x-2n)=2Sb(X-2n)*-ihconKx)+(ww.r)cxp(y11v)=Zf(X-)+cxp(yv)J(x-n)三-XM=-=O的根”(为)表示力Cr)在X=M处的导数
2、.于是Zb(X-)(si11X)-,-2z2i-CMX.V)111.4计算图遨1.1所示的两函数的一维卷积.解：设卷枳为g（x）.当-IWXWo时，如图Sf1.1.ig）所示,当0xW1.时，如图题1.1S)所示,e(x)=f(1.-a)(1.+x-a)da.r+-X3品326-+-X-a-10326I1.1._(3)coinbox)rect(x)解：(I)5(2.r-3)*=rec,j=A(2)设卷积为g(x),当XSO时,如图遨1.2（八）所示.f”Ag()=Jd=x+2当0时，如图题1.2（b）所示图跑1.2g(x)=da=2-xg(x)=2,I+-,xO2UPg(1)=2人图p(7i)
3、的傅立叶变换为exp(-芯J,试求(1) pej(-2)=?2)pexp(-x229j=?解：设y=6x,z=y即,泌xp(Ff)=exp-转)由坐标缩放性质p(at.y)=向喈闻得(I),偿JeXP(-X)=pe(-y、/*=-11e(-z)=411e(-)2)pjexp(-22211exp(-2ctz2)=V211exp(-211i)1.7计算枳分.(1)JSinC(灿=?(2)Jsinc2(X)CoSm4=?-X解：应用广义巴塞伐定理可对0TjC(1sinc2(.v)sinC2(x)dx=()()J=(1+)*+=-C-Xz13(2) sinc2(x)cos11xdv=j()5+p+(八
4、(4)4-1肚4(4MU41.8 应FH卷枳定理求/(x)=sin（八）sinc(2x)的傅电叶变换.当一二一一时，如图题1.3（八）所示，22G(当一1.M41.时，如图超1.3(b)所示,22G(当1.4&0，求/(-v)=?(=?-X解：pjcxp(-74)=1.exp(x)CXP(-2*t)dx+c(-jv)c(-j2x)dx=,26_Jep(-S)公=Jg-=-+(2痞*P网#2+Qq)221.10 设线性平移不变系统的原点响应为MX)=exp(-.xYtep(x).试计%系统时阶胱函数WeP(X)的响应.解：由阶跃函数定义，ostep(x)=的O,xO所以系统对解阶跟函数SfeP(
5、X)的响应为g(x)=step(x)(.v)=ep-(x-a)da=1-exp(T),aO1.11 有两个跳性平移不变系统.它们的原点脓冲响应分别为Za)=Sindr)和2(X)=Sinc(3x).试计算各自对输入函数/(x)=cos2,x的响应gt（八）和g2(x).解：1.12 己知一平面波的更振幅去达式为U(Xy,z)=AexpUQx-3),+4z)试汁匏乂波长人以及沿,yZ方向的空间痢率.解：设平面波的短振幅的表达式可以表示成以下形式U(x.y,Z)=acp(jkr)=exp(.vcos+IyCoS夕+cos)j由鹿可知，ACoSa=2,Zrcos/?=-3,ACoSy=4又因为以2&
6、+8$,/7+8,2/=1所以大=行，波长为22沿x,y,z方向的空间频率为_COSa1cos/73”cosy2J=-=一，,J=-T-=-V=j=11211111.13 单色平面波的亚振幅表达式为We)=Aex2泉竟z1求此波在传播方向的穹间频率以及在x.y.z方向的空间频率.解：设单色平面波的双振幅的表达式可以衣示成以卜形式f7(.v.y,)=acp(Jkr)=cxp|./Z;(Acosa+ycos+cos)I23由遨可知，Acosa=-=.Acos/?=-=,kws=-j=又因为CoS2+cos/+CoS2y=I所以A=I波长为2=y=2沿HFZ方向的空间频率为COSa=1COSQCoS
7、y32I4一42小面第三章光学成像系统的传递函数3.1 参看图3.1.1,在推导相干成像系统点扩放函数(3.1.5)式时，对于枳分号前的相位因子exp(M+)卜exp1.2dJ24八M试问：1)物平面上半径多大时,相位因子CXp匠(X：+川相对于它在原点之值正好变更11强度？2)设光瞳函数是一个半径为a的圆,那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？3)由这线结果，设视察是在透镜光轴旁边进行.那么a,和“之间存在什么关系时可以弃去相位因于呻如+娟解：（1）由干原点的相位为等于是与原点相位彳为n的条件是(x,y)exp卜言(.V,-Mx,)x+(,y1-Myo)y(ixdyP(x.y)cx-
8、OC一/笄I(N-%)x+(另一)对drd.v相干成像系统的点扩敢函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍时图样，其中心位于志向像点区，头）Mx“，,：小y1.)=而丁P(.y)ex=)=式中r=Jx?+./，而I(X1,-X11)2+(y1.-yu):kvIaJi(211p)万4,4P-=H在点扩散函数的第,个零点处2mO=0,此时应彳j2mg=3.83,即0.61Pa=将（2）式代入（D式，并留意视察点在原点（X,=y=0）,于是得(3)0.61W.依据税性系统理论,像面上原点处对场分布,必需是物面上全部点在像面上的点犷散函数对于原点的贡AU儿4.工,:0.0）.依据上面的分析,假如略去h第一个零点
9、以外的影响,即只考虑h的中心亮风对原点的贡稣,那么这个贡帧仅仅来自于物平面原点旁边q=0.64范围内的小区域.当这个小区域内各点的相位囚FeXP1.Wd2dtJ变更不大，而降它弃去，假设小区域内相位变更不大于几分之一弧度（例如16）就酒意以上要求.则*1）24,q,z16,也即16a244（4）例如I=600nm.do600mm.则光瞳半径aN1.4611m.明显这一条件是极易满意的.3.2 一个余弦型振幅光棚.夏娠帽透过率为Kv1.y,）=s20.则物平面上的透射光场为U“/,）=Aexp（jfcjsinJWCjy。）图ex况啜+5力尔卜+啜卜判TT力一啜其频i*为A（,）=ff1.U（xo
10、,yv）长阴+冰上苧）11+%由此可见,相对干垂直入射照明.物频谱沿，轴整体平移了Sin/X距高.,D。Sine,D,+4f4fs4f(1)由此得f-MSineM4/4/。向的最大值为(2)此时像面上复振幅分和和强度分命为Ij211x,岩)+1e*(-j2)1Up,i)=+cos2C-t3照明光束的胃角取最大值时,由(D式和(2)式可得及-224/4/UP2或/J)n2fjoma2f=O时，系统的裁止频率为幺=D4f,因此光榔的最大频率fvmj=A(4)比较(3)和(4)式可知，当果纳倾用的平面波照明时系统的蔽止频率提而了倍，也就提高了系统的极限辨别率，但系统的通带宽度不变，3.3光学传递函数在4=()处都等于1.这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？假如光学系统真的实现了点物成点像.这时的光学传递函数怎样？解：在1)dv,y1-OO式中，令Kyyj=WJJ%(C6为归一化强度点扩散函数,因此(1)式可写成OCZ(JH)=JJH巧,)exp-211(夕加)心,血而K(0,0)=1=h(,yi)dx,dyi即不考虑系统光位损失时，认定物面上单位强度点源的总光通业将全部充满在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义.不能大于1.(3对于忐向成像，归一化点扩故函
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