五年级奥数第十讲数论之余数问题教师版.docx

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1、第十讲：数论之余数问即余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富，题目难度较大的学问体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数学问点，所以学好本讲对于学生来说特别重要。很多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理,)，与中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。学问点拨：一、带余除法的定义与性质一一般地，假如a是整数，b是整数(bWO),若有ab=qr,也就是a=bXq+r,Or)+“+勿=2(X)1,7%+劝=2(X)1,由Z=10.所以，这三个数分别是19“+。=523,2M+)=63

2、1,3k+=847o【观(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是【解析】设这个自然数除以11余(04v1.D,除以9余b(04bv9)，则有1.1.+=9劲+b,即M=7。，只有a=7,/=3,所以这个自然数为12x7=84。【例4】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小学友，已知其次组比第一的多5人.假如把书全部分给第一组，则每人4本，有剩余；每人5本，书不够.假如把书全分给其次组，则每人3本，有剩余；每人4本,书不够.问：其次组有多少人【解析】由48+4=12,48+5=

3、9.6知，一组是10或I1人.同理可知48+3=16,48+4=12知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人.【联国】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数确定大于13x6=78,并且小于13(6+D=91.:又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78+5=83.【模块二：三大余数定理的应用】【例5】有一个大于1的整数，除45.59.IO1.所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告知我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，依据同余定理，我们可以得到：这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.101-45=56，59-45=14,(56.14)=14,14的约数有1.27.14,所以这个数可能为27.14。有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法D39-3=36,147-3=144，(36.144)=12,12的约数是123.4612,因为余数为3要小于除数,这个数是4.6.12:(法2)由于所得的余数相同，得到这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公