五年级奥数第十讲数论之余数问题教师版[1].docx

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1、第十讲：数论之余数问即余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富，题目难度较大的学问体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数学问点，所以学好本讲对于学生来说特别重要。很多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理,)，与中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。学问点拨：一、带余除法的定义与性质一一般地，假如a是整数，b是整数(bWO),若有ab=qr,也就是a=bXq+r,Orb5我们称上面的除法算式为个带余除法算式。这里：(1)当,=O时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全

2、商(2)当rO时：我们称a不行以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完备的带余除法讲解模型：中如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解b-1为被除数，现在要求依据b本一捆打包，那么b就是除I1.I1.I1.1.1.1.Id1.数的角色，经过打包后共打包了C捆，那么这个C就是a本书商，最终还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清楚的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数确定要比除数小。二、三大余数定理；1 .余数的加法定理a与b的和除以C的余数，等于a,b分别除以C的余数之和，或这个和除以C的余数。于4,即两个余数的和3+1.当余数的利比除数大时，所求的余数等余数之和再

3、除以C的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2 .余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等Ja,b分别除以C的余数的积，或者这个积除以C所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以2316除以5的余数等J-3X1=3,当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以C的余数。例如：23,例除以5的余数分别是3和4,所以23X19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2.3 .同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a三b(modm),左边的式子叫做同余

4、式。同余式读作：a同余于b,模11u由同余的性质，我们可以得到一个特别重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差确定能被m整除用式子表示为：假如有a三b(modm),那么确定有a-b=mk,k是整数，即m(a-b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于胆怯以前的计算结果丢失而常常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=8899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9

5、的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为O这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式确定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即假如这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数确定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的我并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数

6、被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用留意：弃九法只能知道原题确定是错的或有可能正确，但不能保证确定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0,但是明显算式是错误的但是反过来，假如一个算式确定是正确的，那么它的等式2两端确定满意弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较困难的算式迷问题。四、中国剩余定理：1 .中国古代趣题:中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答

7、日：“二十三此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，乂被称为“韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9943（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3,得9948（人）。孙子算经的作者与的确著作年头均不行考，不过依据考证，著作年头不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的

8、解法，中国人发觉得比西方早，所以这个问题的推广与其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ChineSeRemainderTheOrem）在近代抽象代数学中占有一席特别重要的地位。2 .核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦驾驭便可-通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。先由5x7=35,即5和7的最小公倍数动身，先看35除

9、以3余2,不符合要求,那么就接着看5和7的“下一个”倍数35x2=70是否可以，很明显70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时乂是3和7的公倍数的数字，明显21可以符合要求。最终再构造除以7余1,同时乂是3,5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：270+321.+2x45Jt（3,5,71=233-A3,5,7,其中k是从1起先的自然数。也就是说满意上述关系的数有无穷多，假如依据实际状况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满意上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2x70+3x2】+245-2x3,5,7=23得到所求

10、假如加上限制条件“满意上面条件最小的三位自然数”，我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128.例题精讲:【模块一：带余除法的定义和性质】【例U五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数。去除1902,得到商是46,余数是，求和r.【解析】因为1992是“的46倍还多r,得到1992+46=4314,得1992=46x43+14,所以=43,r=14.Kf1.1.（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1。88,甲数除以乙数商U余32,求甲、乙两数.【解析】（法D因为甲=乙x1.1.+32,所以甲+乙=乙知1+32+乙=乙*12+32=1088;则乙（1088-321+128S,甲

11、=IOSS-乙=1000.（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到乙数=1056+12=88,甲数=1088-88=1（）0（）.【我国】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的基础题型，须要学生明白一个重耍学问点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题，方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上个“除数与余数的差”，也可以得到个除数的倍数。本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3X7X13,所求的两位数约数还要满意比3

12、7大，符合条件的有39,91.【例2】(2003年全国小学数学奥林匹克送意)有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少？【解新】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数+除数-2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=倍083-13)(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.【观】用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。依据题意设两个白然数分别为x,y

13、,可以得到厂=40：16解方程组得广=弋6,即这两个白然数分别是856.21.【例31(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是99.【解析】设所得的商为。，除数为(19“+为+(23+力+(31“+3=200，7%+的=2001,由b=523,23+=631,3k+=847=【现国】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是【解析】设这个自然数除以11余(0v1.1.),除以9余b(0)v9),则有

14、11.“+“=9x汕+6,即=7，只有q=7,b=3,所以这个白然数为12*7=84。【例4】(1997年我爱数学少年数学夏令营试Je)有48本书分给两组小学友，已知其次组比第一组多5人.假如把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够.假如把书全分给其次组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够.问：其次组有多少人？*#由48+4=12,48+5=9.6知,一组是10或11人,同理可知48+3=16,48+4=12知,二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人.【虱】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.【解析】

15、因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数确定大于13x6=78,并且小于13(6+1.)91;又因为这个两位数除以11余6,而78除以I1.余1,这个两位数为78+5=83.【模块二：三大余数定理的应用】【例5】有一个大于1的整数，除45.59.IOI所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告知我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，依据同余定理，我们可以得到：这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.101-45=56,59-45=14,(56J4)=14,14的约数有127,14,所以这个数可能为N7,14。【我国】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1)39-3=36.147-3=144.(36.144)=12,12的约数是23,4.6J2,因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12:(法2)由于所得的余数相同，得到这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随是两数差的公约数.51-39=12,147-39=