数学文化数学中的有限与无限.ppt

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1、1第十讲第十讲 有限与无限有限与无限2 一 、“有无限个房间有无限个房间”的旅馆的旅馆 1. “客满客满”后又来后又来1位客人位客人 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 3 2 . 客 满 后 又 来 了 一 个 旅 游 团 , 旅 游 团客 满 后 又 来 了 一 个 旅 游 团 , 旅 游 团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 4 3. 客满后又来了无数个旅游团,每个团客满后又来了无数个旅游团,每个团中都有一万个客人中都有一万个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30

2、003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 5 二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系 1. 区别区别 1 1) 在无限集中,在无限集中,“部分可以等于全体部分可以等于全体”(这是无限的本质),而在有限的情况下,(这是无限的本质),而在有限的情况下, 部分总是小于全体。部分总是小于全体。6 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论,就是因为没有看到,就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121

3、 n2 该两集合:有一一对应,于是推出两集合的该两集合:有一一对应,于是推出两集合的元素个数相等;但由元素个数相等;但由“部分小于全体部分小于全体”,又推,又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。 7伽利略(Galileo Galilei,1564-1642),意大利物理学家、天文学家和哲学家,近代实验科学的先驱者。 8 2. 2.) “有限有限”时成立的许多命题,对时成立的许多命题,对“无无限限”不再成立不再成立 (1 1)实数加法的结合律)实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下,加法结合律的情况下,加法结合律 成立成立: : (a+b)+c

4、= a+(b+c (a+b)+c = a+(b+c) ) , a a,b b, c c 9 在在“无限无限”的情况下,加法结合律不的情况下,加法结合律不再成立。如再成立。如1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)01 ( 1)1( 1)1( 1)11 10 (2 2)有限级数一定有)有限级数一定有“和和”。 是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。 则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。1niia1( 1)ii11 2. 2. 联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段

5、,往间建立联系的手段,往往很重要。往很重要。 1)数学归纳法)数学归纳法 通过有限的步骤,证明了命通过有限的步骤,证明了命题对无限个自然数均成立。题对无限个自然数均成立。 2)极限)极限 通过有限的方法,描写无限的过程。通过有限的方法,描写无限的过程。 如:如: ; 自然数自然数N N,都,都 ,使,使 时,时, 。 limnna knknaN12 3)无穷级数)无穷级数 通过有限的步骤,求出无限次运算的结果,如 4)递推公式)递推公式 , a1 = * 1112ii1nnaad13 3. 数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1)大烟囱是圆的:每一块砖都是直的)大烟囱是圆

6、的:每一块砖都是直的 (整体看又是圆的)(整体看又是圆的) 2 2)锉刀锉一个光滑零件:)锉刀锉一个光滑零件: 每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 (许多刀合在一起的效果又是光滑的)(许多刀合在一起的效果又是光滑的)14 3 3) 不规则图形的面积:正方形的面积,长方形的不规则图形的面积:正方形的面积,长方形的面积三角形的面积,多边形的面积,圆面积。面积三角形的面积,多边形的面积,圆面积。 规则图形的面积规则图形的面积不规则图形的面积?不规则图形的面积? 法法.用方格套(想像成透明的)。方格越小,所得面用方格套(想像成透明的)。方格越小,所得面积越准积越准 15 法法.首先转化成求曲边梯形的面积,(不规首先转化成求曲边梯形的面积,(不规则图形则图形若干个曲边梯形),再设法求曲边梯若干个曲边梯形),再设法求曲边梯形的面积:划分,求和,形的面积:划分,求和, 矩形面积之和矩形面积之和 曲边梯形面积;曲边梯形面积; 越小,就越精确;再取极越小,就越精确;再取极 限限 ,就得到曲,就得到曲边梯形的面积。边梯形的面积。()iiifx0

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