数学分析级数.ppt

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1、2 正项级数 三、积分判别法 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法*四、拉贝判别法一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同若数项级数各项的符号都相同, , 则称它为同号级数则称它为同号级数. . 对于同号级数对于同号级数, , 只须研究各项都是由正数组成的级只须研究各项都是由正数组成的级 数数(称正项级数称正项级数). .若级数的各项都是负数若级数的各项都是负数, ,则它乘以则它乘以 - -1后就得到一个正项级数后就得到一个正项级数, ,它们具有相同的敛散性它们具有相同的敛散

2、性. . 定理定理12.5 nu正正项项级级数数收敛的充要条件是收敛的充要条件是:部分和部分和 nS数数列列有界有界, 即存在某正数即存在某正数M, 对一切正整数对一切正整数 n 有有.nSM0(1,2,),iui由由于于证证 所以所以Sn是递增数列是递增数列. .而而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界单调数列收敛的充要条件是该数列有界( (单调有界单调有界 定理定理).).这就证明了定理的结论这就证明了定理的结论. . 仅靠定义和定理仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收容易的，因此要建立基于级数一般项本身特

3、性的收 敛性判别法则敛性判别法则. . nnuv设设和和是是两两个个正正项项定理定理12.6 (比较原则比较原则) 级数级数, , 如果存在某正数如果存在某正数N, , 对一切对一切 n N 都有都有 (1)nnuv则则(i),;nnvu若若级级数数收收敛敛 则则级级数数也也收收敛敛(ii),.nnuv若若级级数数发发散散 则则级级数数也也发发散散证证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性散性, ,因此不妨设不等式因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立对一切正整数都成立. . nnnnSSuv现现在在分分别别以以和和记记级级数数与与的的部部分

4、分和和. .由由(1)式可得式可得, ,对一切正整数对一切正整数 n, 都有都有 (2)nnSS,lim,nnnvS若若收收敛敛 即即存存在在 则由则由(2)式对一切式对一切 n 有有 nulimnnnSSnS, 即正项级数即正项级数 的部分和数列的部分和数列 有有 界界, 由定理由定理12.5级数级数 nu收敛收敛, 这就证明了这就证明了(i). (ii)为为(i)的逆否命题的逆否命题, ,自然成立自然成立. .例例1 21.1nn考察的收敛性考察的收敛性解解 2,n由由于于当当时时 有有22111.1(1)nnnnn n因为正项级数因为正项级数 21(1)nn n 收敛收敛 (1例例5的注

5、的注), 故由故由 比较原则和定理比较原则和定理12.3, 级数级数 211nn 也收敛也收敛. 22,nnnnuvu v收敛 则级数收敛.收敛 则级数收敛.例例2 若级数若级数22|nnnnu vuv 22,nnuv证证 因为因为 , 而级数而级数 收敛，收敛， 根据比较原则根据比较原则, 得到级数得到级数 nnu v收敛收敛. 在实际使用上在实际使用上, ,比较原则的极限形式通常更方便比较原则的极限形式通常更方便. .,nnuv推论推论 (比较原则的极限形式比较原则的极限形式) 设设 是两个是两个 正项级数正项级数, ,若若 lim,(3)nnnulv则则(i)0,;nnluv 当当时时

6、级级数数, ,同同敛敛散散(ii)0,;nnlvu当当且且级级数数收收敛敛时时 级级数数也也收收敛敛(iii),.nnlvu 当当且且级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散证证 (i) 由由(3), l 对任给正数对任给正数 存在某正数存在某正数N, 当当 n N时时, ,恒有恒有 nnulv 或或()().(4)nnnlvulv 0l当当nu由比较原则及由比较原则及(4)式得式得,时时, 级数级数 与与nv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散. 这就证得了这就证得了(i). . (ii) 当当l = 0时时, ,由由(4)式右半部分及比较原则可得式右半部分及比较原则可得, ,若若 nvn

7、u级数级数 收敛收敛, 则级数则级数 也收敛也收敛. (iii),l 若若则对于正数则对于正数1, , 存在相应的正存在相应的正数数N, ,当当 n N 时时, , 都有都有 1.nnnnuuvv或或于是由比较原则知道于是由比较原则知道, 若级数若级数nv发散发散, 则级数则级数 nu也发散也发散. 例例3 级数级数 12nn是收敛的是收敛的, 因为因为1212limlimlim112122nnnnnnnnnnn以及等比级数以及等比级数 12n收敛收敛, 根据比较原则的极限形根据比较原则的极限形 12nn式式, , 级级数数也也收收敛敛. .例例4 正项级数正项级数 111sinsin1sin

8、sin2nn是发散的是发散的, 因为因为 1sinlim1,1nnn 根据比较原则的极限根据比较原则的极限 1n1sinn形式以及调和级数形式以及调和级数 发散发散, 得到级数得到级数 也发也发 散散. . *例例5 判断正项级数判断正项级数 12 sin1nnn的敛散性的敛散性.1sinlim1,1nnn12 sin1nnn21n解解 因为因为 故可将故可将 与与进进 行比较行比较. . 由于由于 12 sin122(1sin)12 sin21limlimlim1nnnnnnnnnnnnnn12(1sin)lnlime,nnnn注意到注意到 2111lim 1sinlnlim 1lnnnnn

9、nonnnn221lnlim0,nnnonn所以所以 12(1sin)lnlime1.nnnn 根据比较原则根据比较原则, 原级数收敛原级数收敛.二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的而得到的, , 但在使用时只要根据级数一般项本身的但在使用时只要根据级数一般项本身的 特征就能作出判断特征就能作出判断. .定理定理12.7( (达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法, 或比式判别法或比式判别法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且存在某正整数且存在某正整数0(01).Nqq及常数及常数0(i),nN若对一切成立不等式

10、若对一切成立不等式1,(5)nnuqu则级数则级数 nu收敛收敛.0(ii),nN若对一切成立不等式若对一切成立不等式11,(6)nnuu.nu则则级级数数发发散散证证(i)(5)1n不不妨妨设设不不等等式式对对一一切切成成立立, ,于于是是有有32121,.nnuuuqqquuu把前把前n-1个不等式按项相乘后个不等式按项相乘后, ,得到得到132121nnnuuuquuu11.nnuu q或或者者由于当由于当0 q N 时时, , 有有 1.nnuqqu 1,1,qq当时 根据的取法,有当时 根据的取法,有由上述不等由上述不等式式的左半部分及比式判别法的的左半部分及比式判别法的 (i),

11、得正项级数得正项级数 nu是收敛的是收敛的. . 1,1,qq 若则有若则有 根据上述不等式的左半部分根据上述不等式的左半部分 及比式判别法的及比式判别法的 (ii), 可得级数可得级数 nu是发散的是发散的. ,qNnN若若则则存存在在当当时时有有11,nnuu.nu所所以以这这时时级级数数是是发发散散的的例例6 6 级数级数22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于由于 1233limlim1,144nnnnunun根据推论根据推论1，级数收敛，级数收敛. .例例7 讨论级数讨论级数1(0)nnxx 的敛散性的敛散性.解解 因为因为 11(1)

12、1(),nnnnunxnxx nunxn 根据推论根据推论1, ,当当 0 x 1时级数发时级数发 n散散; 而当而当 x = 1 1时时, 所考察的级数是所考察的级数是, 它显然也是它显然也是 发散的发散的. . 性作出判断性作出判断. 例如级数例如级数211,nn和和它们的比式极它们的比式极 1211(),nnunun限都是但收敛限都是但收敛(1例例5), 1n而而却是发散的却是发散的(1例例3).若某级数的若某级数的(7)式的极限不存在式的极限不存在, ,则可应用上、下极则可应用上、下极限来判别收敛性限来判别收敛性. . 若若(7)中中q = 1, ,这时用比式判别法不能对级数的敛散这时

13、用比式判别法不能对级数的敛散 *推论推论2设设nu为正项级数为正项级数.1(i)lim1,;nnnuqu若则级数收敛若则级数收敛1(ii)lim1,;nnnuqu若则级数发散若则级数发散*例例8 研究级数研究级数22211(8)nnnnbbcb cb cb cb c的敛散性的敛散性, 其中其中 0 b c.解解 由于由于1,nnb nuuc n为为奇奇数数, ,为为偶偶数数11lim, lim,nnnnnnuucbuu故有故有于是当于是当c 1 1时时, ,级数级数(8)发散发散; ; 但当但当b 1 N, 有有 .nnlul 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结于是由根式判别法就得到推论所

14、要证明的结论论. . 推论推论1( (根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式) 设设 nu为正项级为正项级 数数, ,且且例例9 研究级数研究级数 2( 1)2nn的敛散性的敛散性.解解 由于由于2( 1)1limlim,22nnnnnnu 所以级数是收敛的所以级数是收敛的. .若在若在(11)式中式中 l =1, ,则根式判别法仍无法对级数的敛则根式判别法仍无法对级数的敛 散性做出判断散性做出判断. 例如例如211,nn对和对和都有都有2111(),nnunnn 但但是是收收敛敛的的 而而却却是是发散的发散的. . 若若(11)式的极限不存在式的极限不存在, 则可根据根式则可根据根式nnu

15、的的上极限上极限 来判断来判断. . *推论推论2 设设nu为正项级数为正项级数, 且且lim,nnnul则当则当 (i) l 1 时级数发散时级数发散. . *例例10考察级数考察级数22nnbcbcbc的敛的敛 散性，其中散性，其中01.bc解解 由于由于121121(),()(),mmnnmmccumbb 故故lim1,nnnuc因此级数是收敛的因此级数是收敛的. 1limlim,nnnnnnucub11limlim01,nnnnnnubuc如果应用比式判别法如果应用比式判别法, 由于由于 我们就无法判断其收敛性我们就无法判断其收敛性.1limnnnuqulim.nnnuq根据第二章总练

16、习题根据第二章总练习题 4 (7), 当当 时时, 必有必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数, 也能也能 由根式判别法来判别由根式判别法来判别, , 亦即根式判别法较之比式判亦即根式判别法较之比式判 别法更为有效别法更为有效. 例如级数例如级数2( 1),2nn 由于由于 222121332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362mmmmmmuu故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性. 但应用根但应用根 式判别法却能判定此级数是收敛的式判别法却能判定此级数是收敛的( (例例9).).那么那么, , 是是 否就不需要比式判别法了？请看下面例子否就不需要比式判别法了？请看下面例子. .例例11 判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解解 (i) 因为因为 212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnunnunn 2(1)1lim1,(21)(22)4nnnn 由比式判别法，原级数为收敛由比