悖论与数学文化.ppt

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1、“要怀疑一切，才能有所发现！” 古希腊数学家 什么是悖论？悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻， 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。 百科名片 二律背反 antinomy （ 两个显然令人信服的原理之间的，或者从它们正确地导出两个显然令人信服的原理之间的，或者从它们正确地导出 的推的推 论之间的矛盾论之间的矛盾 ） 一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了 （似是而非的理论

2、）（似是而非的理论） 我们的 悖论(严格意义上的) paradox （悖论一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬） 看起来与常识矛盾或者对立的，然而可能是正确的看起来与常识矛盾或者对立的，然而可能是正确的 命题命题 谬论 fallacy （从错误的开始或错误的推理中得到的错误的骇人听闻的（从错误的开始或错误的推理中得到的错误的骇人听闻的 结结 论）论） 一系列推理看起来好像无法打破，可是一系列推理看起来好像无法打破，可是 却导致逻辑上自相矛盾却导致逻辑上自相矛盾 在康德的哲学概念中，二律悖反指对同一个对象或问题所形成的两种理论或学说虽然各自成立但却相互矛盾的现象 康德在纯粹理性批判

3、中提出了理性在宇宙论问题上的四组二律背反： 正题：世界在时间上有开端，在空间上有限；反题 ：世界在时间上和空间上无限。 正题：世界上的一切都是由单一的东西构成的；反题：没有单一的东西，一切都是复合的。 正题：世界上有出于自由的原因；反题：没有自由 ，一切都是依自然法则。 正题：在世界原因的系列里有某种必然的存在体；反题：里边没有必然的东西，在这个系列里，一切都是偶然的。 第一组二律悖反，说宇宙在时间上是有限的和无限的可以证明。如他用归谬法（归谬法是通过一个命题导出一个荒谬的结论而否定该命题的一种方法）进行证明：因为如果承认宇宙在时间上是无限、没有开端的，那么就等于说到了一个时间点上（比如到目前

4、为止），一段无限的时间序列已经结束了，但这是不可能的，因为“无限”就是没有结束之意，怎能说无限的时间结束了呢？由此看来，时间只能是有限的；另一方面，如果承认时间有限，则等于说，宇宙在时间上有个开端，在此以前宇宙还不存在，这也就等于在开端之前，时间是空的，而在空的绝对时间中是不可能形成万物和世界的，所以，宇宙在时间上有个开端是不可能的，因此说时间是无限的。这种证明说明宇宙在时间上是无限的和有限的这两个命题都是正确的。空间是无限的与有限的这两个命题也同样可以证明都是正确的。 back双生子佯谬 你和你的双胞胎兄弟是同时出生的,假设你现在出发进行空间航行,飞船的速度接近光速(c),而你的兄弟留在地球

5、上,因为速度接近光速,所以在地球上的兄弟看来,你的时间流逝的比较慢,这样在你返回的时候将会发现他比你衰老.虽然这似乎和常识相抵触,但一系列实验已经证明在这个场景中旅行的你确实比你的兄弟更年轻些。 这个结果似乎与狭义相对论矛盾：双生兄弟中的每一个人都认为对方相对于自己运动，因此由于时间膨胀的作用，每一个人都认为对方应该比自己年轻。狭义相对论指出所有观测者都有同等意义，没有任何一个参考系（frame of reference）是会获得优待的。因此旅行者会预期回到地球后会看见比他更年轻的双生兄弟，但这就与他兄弟的想法恰好相反。 但实际上旅行者的期望是错误的：狭义相对论并没有说所有观测者都有同等意义，

6、而是只有在惯性系中的观测者（即没有进行加速运动的观测者）才有同等的意义。但宇宙飞船在旅途中亳无疑问是至少加速过一次的，所以旅行者并不是惯性系。反之，留在地球上的兄弟在整个航程中都是在惯性系之中（如果忽略源自地球质量及移动所带来的相对较小的加速度），所以他能够把他跟他兄弟分辨开来。 back这句话的英语原文是“Everything is implied by a fallacy”，是逻辑学中的一条定理，也称为“由任何一句假话都可以推出任何一句话”，形式化的表述是(非P)(PQ)。 “由谬论可以推出任何一句话”的概念是罗素最先提出的。他举了一个荒谬的例子“如果1+1=3，那么罗素是教皇”，并给出了

7、“证明”： 根据自然数3的定义，3=2+1，但已知1+1=3，所以1+1=2+1，利用等量公理得到1+1-1=2+1-1，即1=2； 考虑集合罗素，教皇，这个集合的元素个数为2，但是已证1=2，所以也可以说这个集合的元素个数为1，由此可以得出罗素=教皇，证毕。 通过这个例子，可以给出对于“逻辑蕴含”（即“推出”）的形式定义：“PQ当且仅当Q为真或或P为假”。 由谬论可以推出任何一句话由谬论可以推出任何一句话我们再来看一个有趣的悖论- 亚里士多德的轮子悖论如图，轮子上有两个同心圆，轮子滚动一周，从A点移动到B点。这时，|AB|相当于大圆的周长，此时，小圆也正好转动一周，并走过了长为|AB|的距离

8、。这表明，小圆的周长也是|AB|！DBCA由此我们甚至可以推论，所有的圆都是没有半径的点！轮子滚动一周大圆周长|AB|小圆走过的长为|AB|的距离正好转动一周小圆周长也是|AB|大家觉得问题在哪里呢？事实上，最后一个推导是错误的。这说明，小圆是怎样被带着走了长为|AB|的距离。所以|AB|不能代表它的周长。以上是一个谬论由上面的小悖论可以看出悖论对人思维的挑战，由上面的小悖论可以看出悖论对人思维的挑战，但是大家不要以为悖论是错误的，认为它的存在但是大家不要以为悖论是错误的，认为它的存在会让数学往相反的方向走去。其实恰恰相反，它会让数学往相反的方向走去。其实恰恰相反，它的存在会让数学的基础越来越

9、坚固。一些悖论之的存在会让数学的基础越来越坚固。一些悖论之所以会出现，并非恶意，是由于实际上它确实存所以会出现，并非恶意，是由于实际上它确实存在，也就是说数学上尚存在这个漏洞，下面，我在，也就是说数学上尚存在这个漏洞，下面，我将为讲解一下由悖论而引起的数学史上的三次数将为讲解一下由悖论而引起的数学史上的三次数学危机学危机 一、希帕索斯悖论与第一次数学危机一、希帕索斯悖论与第一次数学危机 二、贝克莱悖论与第二次数学危机二、贝克莱悖论与第二次数学危机三、罗素悖论与第三次数学危机三、罗素悖论与第三次数学危机 希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机 首先从勾股定理说起，大家知道，勾股

10、定理是作为人类精神文明的象征之一，在飞向太空的旅行者号飞船中，便携带了由黄金制作的勾股定理的金属板。在我国，最早的一部天文数学在我国，最早的一部天文数学著作著作周髀算经周髀算经中就已有了关于这一定理的中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。面积割补给出它的第一种证明。宋刻本周髀算经周髀算经 （上海图书馆藏）（上海图书馆藏）周髀算经周髀算经卷上记载卷上记载西周开西周开国国时期周公与大夫时期周公与大夫商高商高讨论勾讨论勾股测量的

11、对话，商高答周公问股测量的对话，商高答周公问时提到时提到“勾广三勾广三 股修四股修四 经隅经隅五五”，这是勾股定理的特例。这是勾股定理的特例。而第一次数学危机的产生，就是因为勾股定理的一个特例，当然，这首先要讲述一个古希腊的著名数学家与哲学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯何许人也？毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数万物皆数”是该学派

12、的哲学基石。而是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整一切数均可表成整数或整数之比数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。则是这一学派的数学信仰。在欧洲，由于毕达哥拉斯最先证明了勾股定理，因此，国外将之称为毕达哥拉斯定理，据说，由于毕达哥拉斯证明此定理后欣喜若狂，便宰了100头牛以示庆贺，这个定理又被称为“百牛定理”而我们的故事，便是由此开始。每一个时代，都不缺乏像东大的学生每一个时代，都不缺乏像东大的学生一样勤于思考的人。一样勤于思考的人。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为了一个问题：边长为1的正方形其对角

13、线长度是多少呢？他的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数理数2 的诞生。小小的诞生。小小2的出现，却在当时的数学界掀起了的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌 实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。实际上，这一伟大发现不但是对

14、毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！这个断言也毫无例外是正确的！ 可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断

15、居然被小小的小的2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称史称“第一次数学危机第一次数学危机”。 直到二百年后，大约在公元前二百年后，大约在公元前370年，年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的

16、比例论。他本人的著作已失传，整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德他的成果被保存在欧几里德几何原几何原本本一书第五篇中。欧多克索斯的巧一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一妙方法可以避开无理数这一“逻辑上逻辑上的丑闻的丑闻”，并保留住与之相关的一些，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。起的数学危机。但是但是欧多克索斯的解欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。而不被当作真正的数。 一直到一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆世纪，当数学家证明了基本常数如