大学经济数学.ppt

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1、经经 济济 数数 学学 函数的极限与连续 极限的运算 函数的连续性 数学建模案例 函数的概念 函数的极限 XXXXX 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限 数学模型的概念 数学建模过程 第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续经经 济济 数数 学学1.1 函数的极限函数的极限一、一、 函数的概念函数的概念二、二、 函数的极限函数的极限三、三、 无穷小与无穷大无穷小与无穷大经经 济济 数数 学学因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集

2、DxxfyyW 数数集集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域( )yf x定义定义 1 1 设设数集数集DR ， 则称映射， 则称映射RDf:为定义为定义在在D上的函数上的函数. . 变量变量y按照一定法则总有按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是x的的函数函数，记作，记作 即对于每个数即对于每个数Dx , , 1 1、函数的概念、函数的概念经经 济济 数数 学学()0 x0()f x自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则. .xyDW约定约定: :定义域是自变量所能取的使算式有意义定义

3、域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值. .21yx例例如如，1 , 1 : D211yx例例如如，)1 , 1(: D经经 济济 数数 学学(1)(1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn经经 济济 数数 学学(3)(3)取整函数取整函数 y=x x表示不超过表示不超过 的最的最大整数大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x经经 济济 数数 学学221,0( )1,0 xxf xxx例例如如, ,12 xy12 xy在自变量的

4、不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, ,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. .(3)(3)分段函数分段函数经经 济济 数数 学学例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故经经 济济 数数 学学M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1 1）函数的有界性）函数的有界性: :.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函

5、数则称函数Xxf2 2、函数的性质、函数的性质经经 济济 数数 学学（2 2）函数的单调性）函数的单调性: :,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyI1x2x经经 济济 数数 学学;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒

6、有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI1x2x经经 济济 数数 学学（3 3）函数的奇偶性）函数的奇偶性: :偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf经经 济济 数数 学学有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 经经 济济 数数 学学（4 4）函数的周期性）函数的周期性: :（通常说周期函数的周期是指其（通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期）.2l 2

7、l23l 23l 对于函数对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数，若存在一个不为零的数l，使得，使得关系式关系式 对于定义域内任何对于定义域内任何x值都成立，值都成立，则则 f(x)叫做叫做周期函数周期函数，l 称为是称为是f(x)的的周期周期。 ()( )f xlf x经经 济济 数数 学学(1) (1) 反函数反函数3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数 设函数的定义域为设函数的定义域为D，值域为值域为W. . 若对若对yW，D上上都有唯一确定一个数值都有唯一确定一个数值 x 与与 之对应，且之对应，且(x)=y. 若把若把 y 看作自变量看作自变量, , x 看作因变量看作因变量,

8、 ,则称函数则称函数x=f-1(y)为函数为函数 y =(x) 的的反函数反函数. .而原函数而原函数 y =(x)为为直直接函数接函数; ; x , y 互换便有互换便有y=(x) （y=f-1(x)）, , 从而函数与从而函数与反函数定义域、值域及图象间有一定的关系反函数定义域、值域及图象间有一定的关系. .经经 济济 数数 学学)(xfy 直接函数直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 经经 济济 数数 学学（2 2）复合函数）复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义 2 2:

9、: 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD, , 而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z, , 若若fDZ , , 则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. . ,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y例：例：经经 济济 数数 学学注意注意: : 1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的; ;2.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成. .cot,2xy =,yu=cot ,uv=.2xv=例如：例如：2,1yu ux 例如：例如：经经 济济 数数 学学(1)

10、 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 4. 4. 初等函数初等函数经经 济济 数数 学学(2) 指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xye经经 济济 数数 学学(3) 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyay = lnxxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 经经 济济 数数 学学(4) 三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 经经 济济 数数 学学xycos xycos 余弦函数余弦函数经经 济济 数数 学学正切函数正切函数xytan xytan 经

11、经 济济 数数 学学xycot 余切函数余切函数xycot 经经 济济 数数 学学正割函数正割函数xysec xysec 经经 济济 数数 学学xycsc 余割函数余割函数xycsc 经经 济济 数数 学学(5) 反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反正弦函数反正弦函数经经 济济 数数 学学xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数经经 济济 数数 学学xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数经经 济济 数数 学学 幂函数幂函数, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本

12、初等函数. .xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc经经 济济 数数 学学初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次四则运算有限次四则运算和和有限次的函数复合有限次的函数复合步骤所构成并可用步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数, ,称为称为初等函数初等函数. . 我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段我们以后遇到的函数大多都是初等函数，分段函数除外。函数除外。经经 济济 数数 学学思考题思考题1设设0 x，21)1(xxxf ， 求 函 数， 求 函 数)0()( xxfy的解析表达式的解析表达式. 经经 济济 数数 学学思考题

13、思考题1解答解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf经经 济济 数数 学学二、函数的极限二、函数的极限领域：领域：设设是某个正数，称开区间是某个正数，称开区间(x0- , x0+ )为为以为以为x0中心，以中心，以为半径的邻域，简称点为半径的邻域，简称点x0的邻域，的邻域，记为记为U(x0, )空心领域：空心领域：0(, )U x1. 1. x 时函数时函数(x)的极限的极限 （1） 设函数(x)，当x0且无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim ( ) xf xA 或( )().f xA x 如：

14、如：1lim0, lim0, lim arctan.2xxxxexx 经经 济济 数数 学学(2) 设函数(x),当x0且x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim ( ) xf xA 或( )().f xA x 如：如：1lim0, lim0, limarctan.2xxxxexx 定义定义2： 设函数(x),当x的绝对值无限增大时，函数(x)趋于一个确定的常数A，则称函数(x)当 x 时以A为极限.记lim() ()().xfxAfxA x 或 经经 济济 数数 学学定理定理1 函数y =(x)当x 时极限存在且为A的充要条件是函数y

15、 =(x)当 x 与 x 时极限都存在且等于A. 即lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA 例例2 1(1) lim0;1(2) lim0 (0);(3) lim0.xkxxxxkxe 经经 济济 数数 学学2. xx0 时函数(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x 1时,函数(x)无限接近于1, 记为 f(x)1oxy11 y = x(1,1)例例3 函数 y =(x) = x (如右图)例如例如10lim1 , limarctan0 .xxxx定义定义 3 3 设函数设函数( )f x在在0 x的某一去心领域的某一去心领域0(, )U xd内有定义，当自内有定义，

16、当自变量变量 x 在在0(, )U xd内无限接近于内无限接近于0 x时，相应的函数值无限接近于时，相应的函数值无限接近于确定的常数确定的常数 A，那那么么常数常数 A 就叫函数就叫函数( )f x当当0 xx时的极限时的极限, ,记记作作 00lim( )( )()xxf xAf xA xx=或 经经 济济 数数 学学例例4 4000000000021(1) lim (C);(2) lim ();lim, , lim, 0, lim.22(3) lim?1xxxxxxnnxxnnxxxCCaxbaxbxxnxxxxxxx 为 常 数特 别 地 ：当为 正 整 数 时当时注：注：(3)(3)中函数虽在中函数虽在x=1=1处无定义处无定义, ,但但 x时极限却存在时极限却存在. .这这说明函数在说明函数在 x0 0点的极限是否存在与函数在点的极限是否存在与函数在 x0 处有无定义无处有无定义无关关. .这是因为函数在这是因为函数在 x0点的点的极限是极限是函数在函数在 x0 附近的附近的变化趋势变化趋势, , 而不是在而不是在 x0处函数值。处函数值。经经 济济 数数 学学如3. 3.