2024年《等差数列前n项和的公式》教案.docx

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1、2024年等差数列前n项和的公式教案等差数列前n项和的公式教案作为一名教师，时常需要用到教案，借助教案可以恰当地选择矛他用救学方,调动学生学习的枳极性.教案应该怎么写才好呢？以下是我为大家收集的等差数列前11项和的公式教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友.教学目标A、知识目标：掌樨等差数列前n项和公式的推导方法；掌提公式的运用.B.能力目标：(1)在探索和发现公式的过程中，培养学生观察、联想、归纳.分析.综合和逻辑推理的能力,并促进知识的生成与发展.(2)通过巧妙的思维策略，引导学生根据观氯尝试、分析和类比等实践活动，从特殊情况逐步推导出一般规律，以培养他们的类比思维能力.这样的过

2、程能帮助学生自主发现等差数列的求和公式,并更好地理解其背后的数学原理.(3)通过多角度、多恻面的分析公式，可以培养学生灵活思维，并提升他们分析彳瞭决问题的能力.C.情感目标：(数学文化价值)(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯锄主义思想的南陶.(2)通过公式的运用,恻立学生大众教学的思想意识.(3)通过引入生动的、具体的现实问题，探索数学史中那些引人入胜粽事，激发学生对于探究数学的兴趣和渴里，培养他们追求真理的勇气和自信心，巩固学生在学习数学过程中的积极心理经验，培养他们对敌学的独爱情感教学更点：等差数列前n项和的公式.教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用.教

3、学方法：启发、讨论、引导式.教具：现代教育多媒体技术.教学过程一.创设情景.导入新课.师：经过几节课的学习，我们已经了解了等差数列的定义、通项公式以及相关性痍,今天我。诩进一步研究等差数列的前n项和公式.提呈擞列求和，就会自然想到德国著名数学家高斯的“神速求和”故事.当时小高斯上小学四年级，一次老师布置了一个数学习题：“将1到100的自然数相加,结果是多少？只有10岁的小高斯稍作思考就得出了答案S050,这让老师非常吃惊,那么SS斯是如何巧妙计算出来的呢？如果你们能理解他SB种巧妙的计筒方法用以你们就是二十一世纪的新高斯.（老师观察学生表情后，将i礴缩小为十分之一）.现在我既而一个例运例1,计

4、算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道曲除了累加计算以外还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后,让学生自行发言解答.生1：因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成5个11,得到55.生2:可设S=1.+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律，又可写成S=10+9+8+7+6+5*4+3+2+1.上面两式相加2S=n+o+.+U=IOxn=Iio10个所以我何导到S=55,即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似.理由是：1+100=2+99=3+98=.=50+51=10

5、1,有50个Io1.,所以1+2+3+.*100=501.01=50S0.请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？生3:散列(an是等差数列，若m+n=pq,则am+an=ap+aq.二.教授新课(芸试推导)师：已知等差数列的第一项为a1.,项数为n,最后一项为an.根据等差散列的性质.我们可以推导出它的前n蹄Sn的计算公式.首先，我们知道等差数列的通项公式为：an=a1.+(n-1.)d只中，d为等差数列的公差.接下来，我们将等差数列的所有项按照相反的顺序排列，并将原数列与反向数列相加，得到一个新的等差数列，每一项都是a1.+an.例如，对于等差数列a1.a2,a3,an,与之

6、对应的反向敖列为an.an-1,a1.将两个数列按位相加，得到新的等差数列2a1.+d2a2+d,2a3+d,.2an+d.将两个数列的每一项分别相加，得至U:(2a1.+d)+(2a2*d)+(2a3+d).(2an*d)=2(a1.+a2*a3*.*an)nd由于等S*J69前n项和Sn表示为a1.+a2+a3+.+an所以我们可以将上述等式改写为2a1.+d)+(2a2+d)+(2a3+d)+.+(2an+d)=2Snnd进一步整理得:2Sn+nd=n(2a1.(rv1.)d)化简可得：Sn=n/2*(a1.+an)因此，等差数列的前n三Sn的计算公式为Sn=n/2*(a1.+an).感

7、谢同学们的参与，现在请一位同学来板演推导过程.生4:Sn=a1.+a2+.an-1+an也可写成Sn=an*an-1+.a2*a1.两式相加得2Sn=(a1.+an)+(a2+an-1.)+.(an+a1.)n个=n(a1.+an)所以Sn=(I)师：好！如果已知等差数列的首项为a1.,公差为d,项数为n,则an=a1.+(n-1.)d代入公式(1照Sn=na1.+d(11)上面(I)、(II)这两个式子可以被称为等差数列的前n师心式.公式(1)是基本的，我们可以观察到它与梯形面积公式(上底下底)X高2相似.在这里，等差数列中的首项a1.代表了悌形的上底第n项an代表了悌形的下底而项数n则代袭

8、了悌形的高.通过这种类比，我们可以引导学生进行总结：这些公式中涉及了几个量?(a1.,d,n,an,Sn),它们之间有哪些关系？an=a1.(n-1.)d,Sn=na1.d);另外，这些量中有几个是可以自由变化的？(三个)从而可以得知：只要我C加道其中任意三个量，就可以求解出其他两个量，接下来，我C谒举一些例子来说明公式(I)和(H)的一些应用.请您谢谢！三、公式的应用(通过实例演练,形成技能).1 .直接代公式(让学生迅速熟悉公式，即用基本观点认识公式)例2、计算：(1) 1.+2+3+.-.+n(2) 1+3+5*.*(2n-1.)(3)2+4+6+.+2n(4)1-244+5-6+.+(

9、2n-1.)-2n请同学们先完成(1)-(3),并请T立同学回答。生5:直接利用等差数列求和公式(1),得(1) 1.+2+3+.+n=(2) 1+3+5*.*(2n-1.)=(3)2+4+6+.+2n=n(n+1.)师：第(4)小题数列共有n项.该数列是否为等差数列需要根据给出的信息进行判断，而在题目中并没有给出具体的数列项或规律，所以无法确定它是否为等差数列.不能直接运用Sn公式求解,因为Sn公式是用来求解等差数列前n项和的公式，需要知道数列的首项、末项和项数才镇使用该公式计日,如果无确定数列是否为等差数列，可以会诚找出数列的通项公式，然后根据题目给出的条件计算出具体的数列项.如果无法找到

10、通项公式，可以逐项计算数列的项.生6:(4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列,所以原式=1+3+5+.+(2n-1.)-(2+4+6+.+2n)=n2-n(n+1.)=n生7:上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为T,故可得另一解法：Si三1.-1-1=-11n个师：非常好！在解题时期口应该仔细观察,并寻找规律，通常能够找到更好的方法.此外，在运用Sn公式时需要注意确切地确定等差数列的项数，否则很可能会得出借误的答案.例3、(1)数列(an)是公差d=-2的等差效列，如果a1.+a2+a3=12,a8a9a1.=75,求a1.,d.S1.O.生

11、8：(1)由a1.+a2+a3=12得3a1.+3d=12,B1.a1.+d=4Xd=-2,.21=6.S12=12a1.+66(-2)=-60生9:(2)由a1.+a2+a3=12,a1.+d=4a8+a9+a1.=75,a1.*8d=25解得a1.=1.,d=3.S10=10a1.+=145师：通过以上示例题，我们学习了等差数列的前n项和公式.该公式中包含了5个变量.当已知其中三个变量时，我们可以利用构建方程或方程组的方法来求解另外两个未知变量（即已知三求二）.请同学们根据第三个例题国逾写类练习欣，作为本课外练习的内容.在下节课时，我们将进行交流和讨论.师：（继续引导学生，将第（2）小题改

12、编）数列（an）等差数列,若a1.+a2+a3=12,a8+a9+a1.=75,且Sn=145,求a1.,d,n是否一定非得求得a1.d呢？引导学生运用等差数列性质用整体思想考虑求S1.O的伯.2.用整体观点认识Sn公式。例4,在等差数列（an,（1）也a2+aSa1.2a1.S=36,求S16;（2）已知a6=20,求SU.（教师启发学生解）师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16=8（a1.+a6）与已知相比较，你发现了什么？生10:根抠等差数列的性质,Wa1.+a1.6=a2+a1.5=a5+a1.2=18,所以S16=818=144.师：是的！这个问SS篙要应用等差数列的性质来解决.

13、根据已D的等式，我IiJ无法亘接求出a1.,a1.6和d的值.但是我们可以利用等差数列的性质来计前出a1.与an（第16项）隹曲.这种思路充分展示了解决数学I同旗时的整体思维能力.师：由于时间有限，渐谒对等差数列前n项和公式Sn进行深入分析,并引导学生通过观察发现当d/0时，Sn可以表示为n的二次函数.然后,我们会从二次（或一次）函数的角度来解释Sn公式的意义，指引同学们在课外堆续思考这个问题.最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命珍:已知数列an的前n飒为Sn,若对于所有自然数n,都有Sn=.数列an）是否为等差数列，并说明理由.四.4蜡与作业.师：接下来请同学）一起来，J埠本节课所讲的内容

14、.生n:1.用倒序相时域导等差数列前n谏公式.2.用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对Sn公式的运用.生12:1.运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值.2.具体用Sn公式时,要根据已知灵活选择公式（I）或（11）,掌握知三求二的解题通法.3、当已知条件不足以求解等差数列的首项a1.和公差d时，我们需要仔细观察，并灵活运用等差数列的性质，尝试使用整体思维的方法来求解散列的第n项an.师：通过以上几个例子，我们可以看到在解题过程中灵活运用所学知识和性旗的堂要性.!三J时，我们也应该纠必的不明理由盲目套用公式的学习方法.在学习过程中，希望大家锚够成为一个有心人，积投主动地去发现更多的性喷,并努力学习掌握它们.本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳.类比、特定系数等.数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等.作业：P49:13.14.15.17本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者柯陵，谢谢!