抽陀螺与刚体的规则进动.docx

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1、旋转不停的陀螺可兑是最古老也是最普及的民间玩具了（图1）。山西受县西阴村出土的属于仰俯文化的陶制陀螺，以及江苏常州珏墩遗址出土的陀螺，它们的历史少说也石五千年了。关于陀螺最早的文字记载为宋朝宫廷内流行的称为*T-Tm的陀螺玩具，帝京毋物略B中除叙述“杨柳儿活，抽陀螺”的京城民间习俗以外，对陀螺的构造和玩法也有详细的描述：“陀螺者，木制如小空钟，中实而无柄，绕以鞭之绳而无竹尺，卓于地，急掣其鞭。掣，陀螺则转，无声也。视其缓而鞭之，转转无复往。转之疾，正如卓立地上，顶光旋旋，影不动也.”图I抽陀螺陀螺是我国各民族的共同喜爱。打陀螺在彝族、但族、瑶族、哈尼族、苗族、壮族流传已久，是逢年过节的一项传统

2、娱乐活动.全国少数民族传统体育运动会已将打陀螺列为竞赛项H。在西方，陀螺作为消遣玩意最早出现于古代埃及和罗马社会。14世纪，英国的一些乡民将抽陀螺作为御寒的体育活动。新西兰的毛利人在葬礼上转动发响声的陀螺,世界各地的玩具店里能见到各种各样的陀螺玩具.陀螺的魅力在于，它一旦旋转起来就直立不倒，各种陀螺游戏就是用鞭抽打或用线绳抽拉等方法促使它不停顿地旋转。将接触点O视为定点，陀螺就是拉格朗日情形刚体定点运动。它的直立不倒现象依据陀螺的进动性就能做出简单解释：当陀螺绕直立的极轴旋转时，若有扰动使极轴相对地垂线7.轴偏离微小角度,则I1.i力产生对支点的力矩M,其方向垂直于Z轴和陀螺极轴Z组成的平面。

3、设1.为陀螺相对O点的动量矩，根据动量矩定理：d1.!diM.陀螺绕极轴快速转动时，动最矩矢址1.与极轴方向一致。上式中左侧的矢量导数等于矢量1.的端点速度，它与力矩矢量M相等，方向相同。于是陀螺受扰后极轴不会朝重力方向倾倒，而是朝与重力呈90度的水平方向运动,偏离Z轴的角度则保持不变。表现出刚体的自旋轴Z困绕固定轴Z的圆锥运动，这种运动形态称为刚体的规则进动（regu1.arprecession）（图2）。0图2陀螺的规则进动1765年欧拉（EU1.er.1.）（图3）为推导刚体定点运动的动力学方程，建立了以侦心Oc为原点，与刚体固结的直角坐标系（OC-XyZ）.x、y、Z各坐标轴为刚体的惯

4、性主轴.如刚体为轴对称体，则以Z轴为对称轴”再建立以固定点0为原点的定参考坐标系（O-XYZ）,则刚体的位置由（OC-XyZ）与（O-XYZ）之间的相对位置谢定。为便于分析，将（OC-XyZ）的原点OC移到与定点0重合。欧拉提出用3个角度坐标表示坐标系之间的相对位置。方法是先设想（Oxyz）与（O-XYZ）完全重合，然后绕OZ轴转过W角，再绕OX轴的新位理转过0角，最后再绕OZ轴转过角后到达刚体的实际位置（图4）。3个角度坐标、仇体现了刚体绕定点转动的3个自由度，分别称为进动加、章动力和自旋为，统称为欧拉角。图4欧拉角利用欧拉角可对规则进动给出更确切的定义：刚体的章动角。保持常值00,进动角和

5、自旋角随时间匀速增长的运动称为规则进动。就陀螺而言，令OZ轴为沿重力方向的垂直轴，则规则进动表现为刚体在绕极轴OZ旋转的同时，极轴围绕垂直轴作圆锥运动.Oo=O是一种特殊的规则进动，此时极轴与垂直釉盘合，Jg力对支点的力矩等于零，其直立旋转的状态就能继续维持.旋转不倒的陀螺看起来仿佛已入定”，有的文献形象地称之为入睡的陀螺（S1.eepingtop）。关丁抖空竹的博文里提到过的欧拉情形刚体也可能出现规则进动。双轮空竹的高频抖动就是章动角0极小的规则进动。由于是因惯性产生，可称之为“自由规则进动“，以区别于上述拉格朗日刚体因重力矩产生的“强迫规则进动规则进动也是宇宙空间中天体的种运动方式。以地球

6、为例，地球绕极轴Oz的角速度即自转角速度，以24小时为周期“将地球的公转轴，即黄轴作为OZ轴，OZ轴相对OZ轴偏转的章动角00约为23.5,地球沿黄道绕OZ轴公转，周期为一年。在此过程中，因极轴OZ的方向固定不变，不符合上述规则进动的定义。但实际上极轴的方向并非始终不变，只是因为变化极其级慢而琲以察觉。Oz轴的方向改变导致春分点位置的变化，其移动速度极其缓慢，需要漫长的25700年才能在公转轨道即黄道上移动一周。换言之，地球的规则进动周期为25700年。天体力学中将地球的这种特殊规则进动称为“岁差此外，地球的章动角GO也不是恒定不变，由于太阳和月球的引力影响.00以角秒级的幅度作微幅周期性波动

7、.如上所述，陀螺绕垂直轴旋转时能否直立不倒，取决于受扰后是否产生规则进动。根据经验，陀螺的规则进动与转速密切相关。旋转中的陀螺会因支点的摩擦导致诚速，当转速下降到定程度时，规则进动即不能维持，章动角会逐渐增大直至倾倒.因此,才需要不停抽打以维持陀螺的转速“除转速以外，刚体的质量分布情况是另一至要因素，并非任何物体都能成为陀螺。比如捻转一只铅笔，无论使多大劲让它快转都不可能让它直立不倒。可见，对陀螺的运动还须作更深入的分析。假定陀螺的支点O位置固定，皆不考虑地面的摩擦“设陀螺的侦沆为m质心OC至支点O的距离为1,陀螺的赤道惯量矩，即相对OX轴和OV轴的转动愦量为A,陀螺的极惯量矩，即相对OZ轴的

8、转动惯量为C,陀螺绕OZ轴匀速旋转的角速度为,cr条件时才可能存在.,cr为“0的临界角速度：r=(2C)(Mgcos4),f1.推导过程可参阅原文的注释或文献对于极轴在垂直轴附近时的规则进动，近似令Oo=O,临界角速度s,cr简化为(2(AmgD12由于s.cr与陀螺的极惯量矩C成反比，陀螺愈搜长，C愈小，s.cr就愈大。对于像铅笔这种质鱼儿乎全部集中在极轴上的细长刚体，C接近于零，则,cr接近于无限大。于是，再大的转速也不可能使它直立稔定旋转。图5旋转帅丸的桎定性上述关于陀螺稳定性的分析也适用于旋转弹丸的稳定性。抢弹或炮弹在先行过程中，与速度V接近平行但方向相反的空气动力合力F相当于陀螺的

9、重力.其作用点Oa在质心OC的前方.，对质心OC产生倾极力矩，会使弹丸不停翻滚影响弹道的准确性(图5),为避免此现象,受旋转陀螺的启发，让弹丸在飞行中旋转是项重大技术革新。于是在枪炮的内镣出现了来比线，出镣后的弹丸被迫绕自身的轴线旋转.当旋转角速度大于上式表示的临界值时，飞行中的弹丸在空气动力作用下也会做规则进动。将速度V的方向作为OZ轴，与陀螺的规则进动类似，弗丸的规则进动表现为围绕轨道切线的网饰运动。刚体转动运动方程我们建立了一个固结在刚体上的主轴坐标系，描述出来r刚体绕各个方位轴转动的转动惯量，但研究刚体的转动是要将刚体放置在一个惯性系中，于是，刚体的主轴就代表了刚体的形状、方位等信息，

10、刚体主轴与惯性系的夹角即可以描述刚体的运动状态。在刚体的主轴坐标系中，刚体的惯量张量为/1007-pI30o0a/角动的就表示为1.I/u1e1-1?3必33e3并且由角动量定理有ZM这里表示1.相对于惯性系x.y,z)的绝对变化率，上面1.的表达式是角动量在主轴系(动系)中的分解，1.相对动系在运动，动系相对于惯性系也在运动，动系中的单.位矢后也都随着时间变化，于是得到.d.W.,“I,.S.1一).,)/1-,0-力:七1.-.(wer.(wa-.e,)W(u1./.-r1.,2,3力”一写成分量方程：ICj(，213)533=MI，2。231.)(VC3=M2/33(A)3132M3这就

11、是刚体定点运动的基本方程，称为欧拉动力学方程。但是主轴是固结丁刚体的，我们现在也仅仅是描述了刚体在主轴上的转动,而主轴的方向现在还需要确定，对于一个自由度为6的刚体来说，只得到了上面三个方程还远远不够。主轴系和惯性系使用欧拉角来表示，一个笛卡尔坐标系，按照特定顺序相继转动一次，就能变换为另一个笛卡尔坐标系，类似地,刚体由原来的位置转动到另一个位置，需要三个步骤，也就是三次转动特定角度，就是欧拉角。对于笛卡尔坐标系，第一步：绕C轴逆时针转动力角到。第二步：绕轴转。角到。第三步：绕轴逆时针转动到。这样，我们就找到了描述主轴和惯性系的相对位置的方法了。而坐标系的转动，可以使用矩阵语言来描述，在二维坐

12、标系x-y中的坐标系旋转矩阵是R/cos?singsin?COS(P旋转后的坐标系A=(x.y)与原系A=(x.y)的关系是4八”也可以扩展到三维笛卡尔坐标系中，三次旋转矩阵分别是(Co夕sin夕0/100/COerSing0Si1.1.夕COS30I.R20CoSSsinf1.I,R1-ISin的CoSW0I001/0-sincos001/就可以得到旋转后的坐标系与原系的关系为Xrr2r.X(1,2,备)S(.)于是e/MDOW1.mr叭:Ein0)TT:旧(co6ce夕COSmdv,sinMt,ciMCuNfe(Menin.)0CoeViG1.I夕-coe*sinvcu?MnvsinMK1

13、.V*1.nCI1.MgBC01*夕，33疝11。m0cwckO这三个欧拉角在经典力学中都仃着不同的意义：第个角称为进动角，进动角速度为.第二个角称为章动角，其范围是，章动用速度为.第三个角称为白转角，自转角速度为。对于定点运动的刚体，只要询定了过定点0的任意轴线的方位，再给出刚体绕该轴的转角，刚体的位置就完全确定了，用欧拉角来描述就是和0确定了Z轴的位置,再给出自转角，就可以确定刚体的位置r.通常情况下，三个欧拉角在刚体做定点运动时都会变化，就比如陀螺，有自转、章动和进动，那么刚体的瞬时角速度是这三个加速度的矢量和：+0ee3现在我们在这个系统中有两套坐标系，个是惯性系.个是刚体主轴系(动系

14、)，角速度矢量在两个坐标系中都可以进行分解，为计算方便，优先将3在动系中分解8、SCOSoe3一。SinOe,，SCOs，e3tpsinsin7sincosve2eccose1.sne2e3于是(SSin夕Sin1._dcostje：(OSinJoOc,-0sint)e(JCoSe,)e1其分量为(5-0sin83n砂4在OoSU5SSine86巾Gsin25=cos十这个方程就是欧拉运动学方程。这个方程与上面的欧拉动力学方程一起，构成六个描述刚体运动的方程。如果符角动量在惯性系中分解，能得到另一组运动学方程：sin。Sin夕+OCoS(P=JSinJCoSW+Osing34=必COSe+不过有一说一，这些方程看起来都很麻烦的样子，但一般情况下这些方程也确实不能解析求解，只有一些特殊情况才能得到解析解。动能：T=(1,2+Z2u22+Z332)=坐+绚22h)角动量：1.2=Ij2+If参考文献：U1.刘延柱.高等动力学（第二版）,北京：高等教育出版社，2016