2023年初三一模分类汇编：解直角三角形的应用（解答题22题）-答案.docx

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1、2023年上海市15区中有数学一模汇专题08解直角三角形的应用（解答题22题）一.解答JB（共15小题）1.（2022秋竹浦区校级期末）如图，在港口A的南儡东37方向的海面上，有一巡逻艇8,A、8相距20海里，这时在巡送艇的正北方向及港口A的北偏东67方向上，有涧船C发生故障.得知这一情况后,巡逻艇以25海里卜时的速度前往救援，问巡逻艇能否在I小时内到达渔铅C处？(参考数据：$in3T0,60.cos370.80.tan37,195=0.75.sin67,=-三.cos67,-.tan67,1313【分析】由已知可知AABC中C=67,/8=37且A8=20海里.要求BC的长.可以过A作A。.

2、BC于。，先求出CD和RD的长，就可转化为运用一:角函数好直知二角形.【解答】解：过点A作八1.8C垂足为点H小题意.得NAC4=67。.N8=37。.AH=2().在R1.八ZW/中，Vsinfi=-.=4sinZB=20sin37o%12,ABVcosB=-.W=cosZ=20cos376g16,AB在R1.ZMCw中,.tanZCW=tanZACH=771.nv11.rt._AH12tanZACHtan67：BC=BH+CH,：.BCN16+5=21.V21251.所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船。处.【点评】本也考查了解直为:.角形的应用，解答本遨的关犍是将一般三角形的何腮般可以转化为

3、好点角三角形的问跑.解决的方法就是作高线.2.（2022秋身定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，时地卜车库作了改进,如图4.这小区腰地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i=h2.4,B1.BC,为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17,即ACC=17（此时点8、C、。在同一面戏上）.求斜坡改进后的起点。与原起点C的距离（结果粘确到01米）.（参考数据：sin17-0.29,cos17o=0.96.tan17*0.31）【分析】根据坡度的概念.设A8=5x米,则8C=12x米,根据勾股定理列出方程,解方程求解,然后根据余切的定义列出算式，求出Oc【解答】解：由题意

4、，得；NABC=90。，/=Is2.4,在RtZSABC中，=.BC12设八3=Sx米，则8C=12t米，.,.H2+BC2=C2.,.AC=1.3.JAC=13.x=1.118=5米，8C=12米，在RtAABD中，anAOC=,BD,;ZADC=W.B=5,ID031,CDs=4.1（米），答：斜坡改进后的起点。与原起点C的距尚为41米.【点评】本麴考查的是解宜痢三角形的应用-坡衣坡角问起.常握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解电的关键.3. （2022秋杨浦区校级期末）湖中小岛上码头。处一名讷客突发疾病，需要救援.位于湖面。点处的快艇和湖岸八处的救援船接到通知后立刻同时H1.发前往救

5、援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶,与救援船相遇后将该游客转运到救援.铅上.已知C在A的北偏东30方向上，B在A的北偕东60方向上.且在C的正南方向Iuoo米处.（I）求湖岸A与码头C的距离（结果相确到I米，公考数据：31.732）（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后,快艇能否在6分钟内将该游客送上救援明？请说明理由,（接送源客上下船的时间忽略不计）【分析】（1）廷KC8到点&,使CCJ_A。于C,设8C=x,则A8=2,AD=3.C0=9（XRr,在R1.ACC中，tanZCAD即可求出x=450,根据R1.AACC中，SinNCA

6、D型即可求出湖岸人与码头C的距离：2设快艇将游客送上救援船时间为，分钟，根据等景关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程=BC+AC,列出方程，求出时间，,再和5分钟进行比较即可求解.【解答】好：（I延长CB到点D.使CDAD于D.Ih题易知：空=tan60=3CD=43AD.却an304BD*BC=CD-BD-AD=1000（米）D=5K）3.：.AC=2AD=00031732（米）,则18OS+32O（，-嘤9）=1732.320SOO,=2732,吟嗡6.6m加内Ur以将该谢客送上救援船.【点过】本卷主要考查了解百用三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题,含3(角的宜角三角形的三边

7、关系等知识点，找到等疑关系式，构建直角三角形是解答本册的关键.4. (2022秋青浦区校微期末如图,在距某输电铁塔GH(CH垂直地面的底部点，左侧水平距离45米的点8处右一个山坡，山坡A8的坡度i=1.5,山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为前(帙塔GH与山坡AH在同一平面内).1求山坡的高度:2求铁塔的高度G.结果保剧根号Bt分析】过点A作ADHB,交HB的延长线于点。.由坡度的定义计算出BD与AD的关系,根据勾股定理求出AD即可得到答案：如图，过点八作八f1.8,交8的延长战于点O.Z4D=90j.；山坡A8的坡度i=1.:3,A8=30米.BD=3A

8、D:BD3.A2=D2+BDi,j302=AD2+(3AD)2.O=15米，山坡的商度为15米：过点A作A反1.G，于点”，则四边形八/)HE是矩形,由题意可知：ZGA=30.84=45米.,：BD=3AD=153*./.AE=DH=(45+15正)米，在R1.AGE中，tanZGAE-又.=Ao=IS米，/.GH=GE+EH=(30+15。米，答：铁塔的高度GH为(30+153)米.【点评】本区考查了解直痢三角形的应用，矩形的性质与判定，掌提脱角：角函数、坡度的意义是好时的关便.5.2022秋静安区期末)有一把长为6米的梯子Ab.将它的上端A靠着墙面,下端8放在地面上,梯子与地面所成的角记为

9、.地面与墙面互相胤I（如图1所示一般满足50SaW75时,人才能安全地使用这架梯子.（1）当梯子底端5距离墙面2.5米时，求的度数（结果取照数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端/!离开地面报高时，梯子开始下滑,如果梯子顶端A沿着墙面下滑15米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.【分析】（I）由的余弦求出的度数，即可解决问题:2用NOK。的正弦求出N）E。即可解决问超.解答解：（1Vcosa三三0417,AB6.a=65.V50*6575o.此时人能安全地使用这架梯子；此

10、时人不能安全使用这架悌子，理由如下：悌子顶端A离开地面最高时，NA8O=75,sinA80=AB4O=sin75*=6sin75*s5.82（米），梯子顶附A沿若墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD=AO-AD5.2-1.5=4.32（米）.VsinZDEO=-21=0.72.DE6：.NDEo=46：V46求车库的高度A，：求点8与点C1之间的距理（结果精确到I米）.（参考数据：sin1.4=0.24.cos1.4=0.97.Ian1.4c=0.25.cM14=4.01）【分析】（1）利用坡度为i=h2.thAH-.BH=I:2,进而利用勾股定理求出A”的长:也题就可料：AH：BH=1.2.

11、SAH=x.MJHH=2x.故/+2v）2=（65）2.解得：x=6,答：车庠的高度AH为6m：CH又：NAC8=14,Atan14*BC+12O.25=6BC+12解褥：BC=I2.答：点B与点。之间的冲离是12m.【点评】本即考查了解直角：.角形的应用,坡度坡为时遨，注意：坡度等于坡角的正切t7.（2022我徐汇区校线期末）某地一居民的窗户朝南.窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为.若你足一名设计师,请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使

12、冬天温暧的阳光射入室内,根据测量测得Na=30./0=60,八8=1.5米.若同时涌足下面两个条件：当太阳光与地面的夹角是。时，太阳光刚好射入室内.当太阳光与地面的夹用是R时,太阳光刚好不射入室内.讲你求出直角形遮阳蓬RCDVCO的长、CD离地面的高度.【分析】在直角三角形ABCC和AACb利用相应的三角函数用8C分别表示H1.e、AC长，而AC-8C=48,由此即可求汨8C长，进而求得CD长.【解答】解：设BC=X米.VZa=305,Z=M，.NCOB=30.NCOA=6(),在RtZiBCO中.tanNCO8:毁=tan30。=近.CDCD3CD=3x.R1.ACDt1.1.anZCD=t

13、a60=-=3.CDCDcd=,3J-=3x.3解得X=W4.CD=.-（米），4CD面地面的高度0.8+1.5遂=3.05（米）.4有：口角形遮阳蓬BCD中CD的Id巨米，CD离地面的腐度3.05米.4【点评】本题考杳了解直珀三角形的应用，在解百m三知形的题目中，应先找到和所求戏段相关的城段所在的XI角三角形，然后确定利用什么形式的三角两数，最后就口角三角形即可求出结果.此胭还需注意太阳光战是平行的.8.（2022秋浦东新区期末）某地一段长为50米的混泥土堤坝.堤坝的横断面八伙力是等校梯形（如图所示），坝顶AO宽为8米，坝高为4米，斜坡A8的坡度为I：1.5.1）求横断向A8C/）的面积：为了挑高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按斜坡八8的坡度竖克加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积堤坝的长变）【分析】（I）作分别过A.。作AEHC于E,作尸18C于尸.可得四边形AEF为矩形，得