《數理精蘊》之有理與無理數及其他比例數.docx

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1、数理精慰之有理舆辗理数及其他比例数.上傅名：潇柳gH2XiSoXiangGun112何世SHoSaiKcung提要：数理精蕴有题目涉及垣代教学所“有理数”典“维理数”“有理教”可以度会，“维理数”刖不可也。此外本文尚涉及其他之比例散。维河：仃理数照理敷度翥数正方数度鑫本文取材自洁初御裂数理精短上篇卷五面部二勾股卜睾者已有文名悬再数理精缄之速比例三率法及内插，本文乃其延飨。本文主要及现代散犀所需“有理数”典“瓢理T0撼帔理精蕴所云，有部分之“辗理数”可以以作留法作出。所以“有理敷”典“辗理数”之概念她非纯粹玛现代数学。（第二十六修凡雨源、雨面、雨般用“一度”（如尺寸之喝）可以度会者，此之缥、面、

2、锢皆热“有整分”可以度鑫者也。如有甲、乙雨缥，甲缥分检五分，乙绿如甲练度分之得七分靛绘，刖此二绿即热“一度”，彼此可以度蠡者矣。甲5分乙7分指瓢不翥之小数”。本前可算及现代数孥所“有理数”舆“辗理数”。例如上圈甲短悬5分，乙媒悬7分，此雨绿之晨度卷举硅值是热“一度”度翥，是悬“有整分”有整数之尺寸名、粉），是悬琪代之“有理政.若将此二综各.热正方面，各悬正方霜则其南面、陶飕亦皆悬“整分”，彼此可以“度盍”者也。以上文意指以5分作一正方面及一正立方AS，即J分别得25万分及125立一方分雨数皆悬整数皆悬有整分“。又以7分作一正方面及正立方醴即J分别得49方分及343立方分雨数亦.葛整散，亦悬“有

3、整分”。以上之可以推图，若一避舄整数，期此港所作成之面横典箱横皆必尉整数:若招以上之法暹一步推窗若。急有理数，即J/、/、/、/均悬有理数。彳数理精蕊B:至如雨绿雨面、雨醴不可以一度度翥者，此卷1之绿、面磴皆悬维整分可以度会者也。如丙丁戊己方面其丙丁港竦悬五分，而丙戊封角缥即J热七分有徐，乃焉彼此维度就之敦矣。盎以丙丁谖之五分焉度刖丙戊媒得七分有除或符丙戊综篇七分整而以其分焉度，刖丙丁煤得五分不足，凡此之缘、面、檄皆悬维整分，彼此可以度去之数也。数理精）以上到S明何调“维整分”，即不能富成整数，含黑理帔莪。“彼此辗度去之8r指封角绿典造、面、立艘均维公因数。上圄扁一正方形遴房5分，其封角绿展7

4、.07107-分，即7分有除。又如耨封角之民定J7分，理J一遏之是卷24,5=4.949747-分即谖数理精蕴)指出正方形若遴良悬有理数，刖其封角绿必卷维理数，反之，若封角缘展焉有理数即J其避良必悬舞理数，即正方形造艮典封角缥同畴2有理数不能她存，此乃数理精慰之。若正方形遏艮热有理数悬即J封角绿展2(2)。，德辗理数(2篇瓢理数辗理数乘以有理数仍热辗理数)；若封角级片悬有理敷b，0iiZ5，即学亦卷维理数。注意维理数乘以辗理数可能成扁有理数，例如2/8M好理数十分明，因；d8=242，上文已明2热维理数，2卷整数整数乘以维理数亦必Z维理数。数理精蕊B:或封角缥所作方稹2四用1本方植熟二野角缭所

5、作方稹十六，刖本方稽热八，此四典二十六典八之亦照相速比例之整数故四悬正方数而二非正方数十六:正方数而八又非正方帔，然艮IJ封角综所作方楂固检正方数，而本方情根不能成正方数其遴必有零绘而不能小矣，故凡正方遏缥典封角绿断舞一度可以彼此度蠡之理也。以上文意指如封角绿所作方稹舄4，即J本方横（注意本方情定塾）22，封角嫄所作方稽悬16，刖本方横;8，此4典2、16舆8之冏，亦照相逋比例之整亶”然4篇正方数而2非正方帔76悬正方数而8又非正方敷，於是可得一若封角缘所作方fi!U正方数印J本方稽绝不能成正方数，其遴必;维理数，本方精封角绿方和tZ正方数刖本方械不能成正方数圈数理精蕴之1.法明不辘。第二十八

6、凡正方面舆平画面同者，其演之比例同於其周固遏缘之比例也,如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平阑面其戊壬庚之相等，员耻t方稽舆间情之比例同於方周於留周之比例也。上园热“圆方ST，戊壬庚及己壬辛乃圆及方。正方形周界热甲乙丙丁甲I（同一？以甲及甲I分别）；圄周悬突己戊辛臾ISg意指正方形面稹：圃面稹=正方周界：圄周以下熟琪代数孥明法：若圜半r，直2，网周22rtr网面横悬11r2。正方形遏艮22r，方周禹8r正方形面稹24r2正方形面植:Ia面稹=4,：=4r：Q=即：211r。然方周悬Sr，网周22tr正方形面桢：两面植=正方周界：两周。8r:2nr可乐勺f舄4：兀。SE举。何以见之?以正方面之王庚半高，甲

7、乙乙丙丙丁丁甲之全周悬底作一子甲直角艮形方，则此艮方形之横比正方形之横必大一倍，又以壬庚半高，庚己、己戊、戊辛、辛庚全周焉底作一壬庚直角是方形同J此展方形之械比平时形之桢亦必大一倍-凡直角三角形之小遏舆0形之半等而三角形之大谖典IH形之全周等者，三角形之稽舆圆形之稹答也。今此辰方形典三角形同底、同高其稽比三角形必大一倍。然即J王庚辰方形比ISI形大一倍可知也，夫王庚子甲陶艮方形既同以壬庚焉高，MiJ-遏数等一遏相等即其值之比例必同於其不等遏之比例，而全舆全之比例原同於半典半之比例故丽民方形之比例必同於庚次舆甲甲之比例，而方典圜之比例亦必同於庚庚典甲甲之比例矣，甲甲I即方周而庚庚I即时周然即J方

8、周典If1.1.周之比例岂非方稹舆BI精之比例乎？数理精缰之法先作一艮方形子甲甲I丑如下，其高2圄半r-其民甲甲正方形全周Sr，其面植热8,，即正方形面楂之2倍。rI丑r等於2X正方形面稽甲1正方形全周8r悬底再作另一艮方形子庚庚I卯如下，其总悬BI半，箕艮庚庚1悬圄形全周2和，其面fi!tJ211，即圆面稹之2倍。1卯等於2X庚I於H形全周211r舄底因悬雨艮方形有相同之高，所以雨艮方形而植之比=雨片方形之底之比=Sr:211r。所以正方形面横：圆面情=正方周界：画周。即：211r可为商蔚4：X，答案舆前相同。第二十九凡有不知之一大敦用雨小数度之不会，而一有除一不足者，其一多一少之敷相伊以南

9、小数之较度之即得共度黑次之分，舆大鼓之矮何也。如有一大数用小敷五度之多一蚁，用小数六度之，又少四敢刖以多一典少四相加得五以六典五丽小数相减绘一，2年攵数除之，仍得五，即知雨小数各度五次也排然以明之，其甲乙五即小数五，丙丁六即小数六，以甲乙五累五次用I悬甲乙己丙正方二十五多一葛丁，以丙丁六累五次即J悬甲戊丁丙良方三十,少四悬戊庚於甲戊丁丙辰方三十内减去少数戊庚四舄二十六，於甲乙己丙正方二卜五加入多数丁一亦悬二十六是知大数有二十六，用此五、六附小数各度五次之分也以丁一典戊庚四相加悬丁戊五，以小数甲乙五奥丙丁六相减绘一，以一除丁戊五仍得五，典甲丙相等，故甲丙熟臾大数二十六之五次数也。方便明今招Sg目

10、改成如下之1.法：题意指有一数量之圆黠，每次数X站，数5次，期绘I黠，每次数X黠，数6次，印J不足4钻，求X及求回励数。解：依期意可知雨次之IBI励数分别悬5x+1及6x-4，此雨敦相等，即可得以下之方程式：5x+1=6x-45=61.v5xx=5a即每次数5黠，圆黠数热55+1.=25+1.=26又即6X5-4=30-4=26，可知答案正Si。以下热一般情形：有一散量之ISI察I每次数X站，敷次，即依余a黠每次敷X黠，数S次(5r)印J不足黠，求X及求圆黠数。除X外，其他皆2已知数可列出以下之方程式：rx+a=sxba+h=sxrxX(S-r)ajrb等。圆钻数=rrr+rD,as-aras

11、+rs-r5-rs-r以比例法解前：5-r乃度一次之较差也)又悬度X次之较依比例得：Xa+btin+b，即X=1s-rs-r数理精蕴S:若以比例言之，其小数五舆六相减所绘一者，乃度一次之敕，而一多一少相伊之戊丁五者又舄度五次之较故以所绘一舆度一次之比，即同於戊丁五典度五次之比，其比例既同，故其数亦相等也。以下其圈黑黠悬所有数白黠焉不足数丙丁指优丙至丁共6黠,其除烦推。丙甲己乙丁oooc戊庚其意指（丙丁6丙己5）=丁I，即各数一次之差数，数5次之差数即25,即丁之黑黠加戊庚4之白黠，故所绘一典敦1之比，即同於戊丁五典数X之比，即：6-51+41+4.,=*,Y=,=、。1X6-5本题之r=5，a

12、=1，s=6，方=4,即得：1+45cX=M=i=5答案典前相同。第三十）凡有不知之一大敦用雨小数度之不鑫，而俱有除或俱不足者，其附有除或雨不足之数俱相减，以雨小数之较度之，即得其度襄次之分舆大数之黑何也。本题舆上.啰相若上题篇一绘一不足本跄悬雨绘。如有一大数用小数六度之多五数,用小数七度之仍多一敦,刖以雨多数相减绘四，以六典七丽小数相减绘一悬敕数除之，仍得四，即知阚小数各度四次也。同上题，今改成以下之解:若有一敢量之B1.钻每次数X黠，数6次，刖除5黠，每次数X黠，数7次，用J绘1黠，求X及求S1.黠数;解：依题意可知南次之Ia站数分别悬6x+5及7x+I，此南数相等，即可得以下之方程式：6x+5=7x+I7x-6x=5-1即每次数4黠(SI黠数热64+5=24+5=29又7x4+1=28+1=29弑:排髓以明之其