平面向量的正交分解及坐标表示优质课.ppt

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1、课题：课题： 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示学习导航：平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可以用平面的一组基底表示出来，以化归与转化为思想达到化繁为简的目标；那么恰当的选择基底（尽可能特殊化的基底），将带来更加便利的向量表示及运算。我期待ing,你呢？昨天的记忆昨天的记忆平面向量基本定理：平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果 、是同一平面内的两个线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、，可使不共12e e 这里不共线的向量 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1122 +aee 1122 +aee 这就是说平面内任

2、一向量 都可以表示成的形式把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个互相垂直互相垂直的向量，叫作把的向量，叫作把向量正交分解向量正交分解1F G2F 重力产生两个效果，一是木块受平行于重力产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木块产斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力生垂直于斜面的压力. .也就是说，重力的也就是说，重力的效果等价于和得合力效果，即效果等价于和得合力效果，即 G1F 2F G12.GFF =+1F 2F 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量做把向量. .如图，向量如图，向量是两个互相垂是两

3、个互相垂直且长度分别为直且长度分别为2 2，1 1的向量，向量的向量，向量与与的夹角的夹角是是3030，且，以向量，且，以向量为基底，向量为基底，向量如何表示？如何表示？1e1ea4a aB BO OA AP Pa1e2,e1e2,e有何优越性？表示的结果是什么，的长度都为若该题中的基底?1,21aeeABCDoxyija如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j .a a = i +xjyxy对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 i i = =j j = =0 0 = =（1，0

4、）（0，1）（0，0）( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做 在在y轴上的轴上的坐标，坐标，式叫做向量的坐标表示式叫做向量的坐标表示. .aa这样，平面内的任一向量这样，平面内的任一向量 都可由都可由x，y唯唯一确定，我们把（一确定，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）的（直角）坐标，记作坐标，记作aaABCDoxyija概念理解概念理解OxyAijaxya = xi +yjOA = xi +yj1以原点以原点O为起点为起点作作 ，点，点A的的位置由谁确定位置由谁确定?OAa 由由唯一确定唯一确定.a2点点A的坐标与向量的坐标与向量的坐标的

5、关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量坐标（坐标（x ，y）一一 一一 对对 应应OxyAijaxyaa例例1.如图，分别用基底如图，分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aAAAAij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 思考：思考：已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？1122( ,),(,)ax ybxy,ab aba 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应

6、坐标两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例例.如图，已知如图，已知 ，求，求 的坐标。的坐标。1122( ,), (,)A x yB xyAB xyOBA解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,)xx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。的终点的坐标减去起点的坐标。思考思考:你能在上图中标出坐标为你

7、能在上图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的点吗？的点吗？例例2.已知已知 ，求，求 的坐标。的坐标。(2,1),( 3,4)ab ,34ab abab 例例3.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法：设点解法：设点D的坐标为（的坐标为（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且 且(1,2)(3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐

8、标为（2，2）例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法例例4.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），试求顶点），试求顶点D的坐标。的坐标。ABCDABCDxyO解法解法2解法解法2：由平行四边形法则可得：由平行四边形法则可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODO

9、BBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）ABCDoxyija小结小结1 :平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则, i j , i j +aaijxyxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a( , )ax y其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。式叫做向量的坐标表示。aa 小结小结2 :平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy