第二章-平稳随机过程的谱分析.docx

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1、第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题:随机信号是否也可以应用领域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析预备知识1、付氏变换：对于一个确定性时间信号(t),设、是时间t的非周期实函数,且(t)满足狄利格利条件有限个极值，有限个断点，新点为有限值且绝对可积，能有限，那么X傅里叶变换存在.即：1. AJd)在(一8,8)范围内满足狄利赫利条件；2. %(/)绝对可积，即OCj（三）doo_83.若力。)代表信号，则为(，)信号的总能量有限，即快(x（三）2d-8满足上述三个条件的X的傅里叶变换为：OOX()=力底加

2、出-8其反变换为:8=Xx()eidXXg)为)的频谱。当微电压时，则XH吟表示了电压按频率的分布。一般说，XxQD是3的复函数，即X(3)包含了振幅谱和相位语。2、帕安瓦等式由上面式子可以得到：*8.,8【名】W=jx(O2x*(三)e如13出OQOO8OO2jX(3)j4G)e讪d/d。.8OO8=三2)pd称为非周期性时后窗散的帕事瓦(ParSeVa花式。物理意义：假设X衰示的是电压(或电流)，那么上式左边代班x(t)在时间(8,8)区间的总能单位阻抗.因此，等式右边的被积函数IXX(G)2表示了信号Nt)能按频率分布的情况，故称X(。)广为能谱密度.、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏

3、变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。截取函数XT:fX()Qd)=(IOrooiT图2.1X及其截取函数当(t)为有限值时，裁取函数XT满足绝对可积条件。因此，Xr的傅里叶变换存在，有8X(o)=为e-M”一8Tnj%e出-T很明显，XT也应满足帕塞瓦等式，即：注意积分区间和

4、表达式的变化T必出=言JXr,)J三do一T-OO用2T除上式等号的两端，可以得到7*OO/f炉()“=54IXX(TMI2ds一T-co等号两边取集合平均，可以得到：Tg、E导炉焉IXX(T,)daJ_T-00令T-00,再取极限，便可得到随机过程的平均功率。交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)Iim1rEX2(t)Vt=1fIim用，切%oo2TJT27J-72T上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率包含时间平均和统计平均，以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q。再看等式的右边，它当然

5、也存在，并且等于Q。11.2EXx(T,d)2又因为XX(T,G)非负，所以极限IimJ必定存在，1 17oo2T记为S(0):。二嗯JrE1.X2。)Mf=RS()d式中5，(。)=Hm4比X(T,)2注意：1Q为确定性值，不是随机变量2S(0)为确定性实函数。见式两个结论：I.QA式中，A=Iim表示时间平均。它说明，随机过程的平7002T均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程例如，非平稳随机过程求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然，Q不是随机变量。假设随机过程为平稳的，那么Q=A=/H)I=RX(O)这是因为均方值与时间I无关，其时间平均为它自身。

6、OO2O=5fSx(-Oq由于已经对X,v(T,o)2求了数学期望,所以SX(。)不再具有随机性,它是0确实定性函数。功率谱密度：S(0)描述了随机过程X的功率在各个不同频率上的分布-称SX()为随机过程X的功率谱密度。对SX(G)在X的整个频率范围内积分，便可得到X50对于平稳随机过程，那么有：0X2=WeOSX(Md&042.1设随机过程Xa)=4cos(3j+)其中。和5皆是实常数，S是均匀分布在区间(0尸/2)上的随机变量。试求过程Xa)的平均功率。解r因为过程X)的均方值EeXI=EtaZCa./+)=+CoS(2SJ+2)I44J“2/arj2=彳+彳JZcos(2w+29)d9=

7、ysin2o1拗函数,yXU坯是宽生稳的，根据式(37)，我们可/Q=4(ECX12()J=IimJsi1120)d=-y、功率谱密度的性质1功率诺密度为非负的，即Sx()0证明：根据定义式(31.14),SX(M为4,、ECXx0,故SX(SAo2.功率谱密度是S的实函数。证明：C,、1.矶IXX(T,8巾Sx(o)=JimToo41因为IXX(T,2进行了取模运算，这是0的实函数，所以S(0)也是。的实函数，且为确定性实函数。3.对于实随机过程来说，功率谱密度是3的偶函数。即SX(三)=SX(一狙)证明：根据傅里叶变换的性烟，我们知道，当为”)为E的实函数时，其频谱满足OOXTo)=祈(力

8、e-皿必8因此：X；(T,8)=Xx(T，-3)式中，*表示复共婉。于是有XX7a)2=Xx(T,3)Xt(T,3)=Xi(T9-m)X(-)=IX(-)2JS()=1.m77TOO4得：SJt=SX-包)4功率谱密度可积，即OOIS()doo-OO证明：对于平稳随机过程，有：EX1(t)=-Sx()d可以说明功率谱密度函数曲线下面的总面积(即随机过程的全部功率)等于过程的均方值。由于平稔随机过程的均方值是有限的，因此Sx(O)可积。2.2联合平稳随机过程的互功率谱密度2.2.1、 互谱密度可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法推广而来。考虑两个平稳实随机过程X(t)Y(t),

9、它们的样本函数分别为X。)和y(t),定义两个截取函数x7(f)、)丁(。为：尸-TiTXr(/)IO其它r-Tid/=提TfX(i)y(t)d由于Xr(Ojy(f)的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即：OOQO-OOOO因为已设X3)为实过程，所以在(Q=桁口)。可以得到TOXy(T)=/jr()j()84得：OOONY=言Sxr()dJ-DO同理，有：S、x，。)=Iim焉EtXKT,3)XX(T,S),8Oyx=*SYX(O)d3“8又知QXY=QYX以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。、互谱密度和互相关函数的关系平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间

10、互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。定义：对于两个实随机过程X、Y(I),其互谱密度SVy(0)与互相关函数KAT(右，+丁)之间的关系为SXY(O)=j0+e,wrdt-OO即4oS()假设X(t)、丫各自平稳且联合平稳，那么有RxyM一5*“利)即：COSXY)=(Rx(r)e-M*-OOOORXY(T)=afSXY(OOeMdm-OO式中，AV表示时间平均。显然：当XG)和y(f)广义联合平稳时，有&丫(力+T)=&Y及4R(6,+1=R(*1)证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与

11、其互相关函数互为傅里叶变换。、互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率0的正的、实的和偶函数。性质I:Sx()=Sjsv(-?)=Syrx()证明：Sx()=oRx()ejand=oRx(-)eimrd令z=-=RYX()ejafrd=Sx()J-OO=J二RyX(r)e-j-aTdr=Sx(一性质2：Re1.5xy()=ReSxr(-)；ReSy3)=ReSy(-G)证明：式中RcI表示实部。亦即互谱密度的实部为。的偶函数。Sx()=J：Rx()ejnd=1.AXy(jcos/c+jsin(-)d所以：ReSxr(/)=(T)cos6tt令f=J:RXy(T)CoSG11z=ReS(-。)其它同理可证。性质3：【mS*Y(w)=-ImCSXY(一3)ImtSYX(=ImS(一)J式中，ImJ表示虚部.亦即互谱密度的虚部为a的奇函数.证明：类似性质2证明。性质4：假设X与Y正交，那么有S()=0Sy（八）=O证明：假设X(t)与Y正交，那么RXy(A，G)=RyX1，G)=O所以，Sx(6?)=Syx()=O性质5：假设X与Y不相关，X、Y分别具有常数均值机X和tn,那么Sy(3)-S(3)=2mtnv(2证明：因为X与Y(t)不相关,所以EXi)y2)=mXmySx()=f