立体几何题型与巧算方法.docx

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1、立体几何题型与方法1 .平面平面的根本性质：掌握三个公理及推论会说明共点、共线、共而向时.（1） .证明点共线的问遨，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依如:：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共立线上。（2） .证明共点问题.一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条出线上,而这一点是两个平面的公共点，这第三条出战是这两个平面的交战.（3） .证共面问题一般先根据一局部条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面的合2 .空间宣饯.（1）,空间出线位置关系三种：相交.平行、异面.相交直线：共而有且仅有一

2、个公共点：平行直线：共面没有公共点：异面宜线：不同在任一平面内，无公共点注：两条异面直城在同一平面内射影一定是相交的两条出线.（X）（也可能两条直城平行，也可能是点和比线等）且钱在平面外，指的位词关系是平行或相交假设直线小b异面，平行于平面,b与的关系是相交、平行、在平面。内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直彼或两条平行级或两点.在平面内射影是H戊的图形一定是真践.（X）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在问一平面内的射影长相等，那么斜线长相等.（X）（并非是从平面外二卓向这个平面所引的垂线段和斜线段）是夹在两平行平面间的投段,假设“=乩那么的M关系为相交或平行或异面.异面出线判

3、定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直战.（不在任何一个平面内的两条口我）（2）,平行公理：平行于同一条内线的两条宜战互相平行./等角定理：如果一个角的两边和另一个痢的两边分别平行并且方/向相同，那么这两个角相等（如右图）.0（直线与直线所成角0.90）（向!与向址所成角O（0180）推论：如果两条相交直线和另两条相交宜线分别平行，那么这两组F1.戏所成锐角（或直角）相等.（3） .两异面宜燃的距次：公乖戏段的长度.空间两条电线垂直的情况：相交供面）垂直和异面垂直.注：44是异面直线，那么过4外一点儿过点。且与，?都平行平面有一个或没有，但与44距离相等的点在同

4、一平面内.（加或G在这个救出的平面内不能叫，,与人平行的平面）3.直线与平面平行、宜线与平面复宣.（1） .空间n战与平面位汽分三种；相交、平行、在平面内.（2） .立线与平面平行判定定期：如果平面外一条直线和这个平面内一条内线平行，那么这条直续和这个平面平行.（“线线平行n线面平行”）注:且践。与平面Cr内一条直战平行，那么aa.（X）（平面外一条直战）直线与平面内一条直线相交,那么与平而相交.（X）（平面外一条电线）假设直线与平面平行,加么。内必存在无数条直线与。平行.（J）（不是任意一条宜线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面.（）（可能在

5、此平面内）平行于同一个平面的两宜践平行（X）（两宜战可能相交或者异面）直线，与平面a、所成角相等，那么a/九（X）（a、*可脆相交）（3）,直级和平面平行性原定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条H戏和交践平行.（“线面平行=线线平行”）（I）.出线与平面垂直是指出线与平面任何一条直线垂直.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直规垂直.N 假设1A1.a,a1.AO,a1.PO（三垂线定理），y-, 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直戏和一个平面内的两条相交C1.线都垂出，加么这两条直战垂直于这个

6、平面.（“线线垂直=线面垂Mr）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行规中一条直线垂直于一个平面，原么另一条也垂直于这个平面.性侦：如果两条直战同乖立于一个平面，那么这两条口戏平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外二点向这个平面所引的垂莲段利斜线段中，射影相等的两条斜设段相等，射影较长的斜跋段较匕：相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长：垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点.一条直线在平面内的射影是一条出线（X）b射影定理推论：如果个角所在平面外一点到角的两边的距岗相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。4.平面平行与平面赛直.（1） .空间两个平面的位置

7、关系：相交、平行.（2） .平面平行判定定埋：如果一个平面内有两条相交直然都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“战面平行一面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行：平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面内的任一H践平行于另一平面.（3） .两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.（“面面平行n纹线平行”）（4） .两个平面垂叁判定一：两个平面所成的.面角是直:面角，那么两个平面垂直.两个平面垂比判定二，如果一条直线与一个平面垂宜.那么经过这条出线的平面垂比于这个平面.（“线面垂直n面面垂直”）注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂百.

8、，那么两个二面角没有什么关系.（5） .两个平面重出性质定理：如果两个平面.垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，那么它的交战垂曲于第三平面.简证：如图,在平面内过O作OA,OB分别垂宜于/“八，因为PMU.OA_1.尸，MUaQB_1.那么PMOAPM_1.O从所以结论成立（6） .两异面直线任意两点间的距离公式：/+而+/一2MCoSe（0为饯角取减.0为饨为取加.综上，都联减那么必有66I0,）（-.乩G小角定理：CoSG=Cos。100响（4为最小角.如图）b.最小角定理的应用（NPBN为定小角）简记为：成地比交战夹角一半

9、大,H.又比交线夹角补角一半长，一定有，1条.成角比交线夹角半大.又比交线夹角补角小.一定有2条.成角比交战夹角一步大,又与交规夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小.又与交线夹角-半小，一定有1条或者没有.5.横柱.梭隹（1）.棱柱.a.直棱柱侧面积:S=Ch（C为底面周长，只是育）该公式是利用直棱柱的俯而展开图为矩形得出的.斜枝住侧面积：S-C1/（G是斜板柱直豉面周长，是斜板柱的例校长）该公式是利用料极柱的测面展开图为平行四边形得出的.b.四核柱）（平行六面体）（直平行六向体）（长方体正四棱柱=正方体）.宜四枝柱）（平行六面体）二（比平行六面体1.C棱柱具有的性质：梭柱的各个

10、仰面都是平行四边形，所有的侧极都相等：H板柱的各个IW面都是矩形：正楂柱的各个侧面都是全年的便多梭柱的两个底面与平行于底面的橄面跄对应边互相平行的事等多边形.过棱柱不相邻的两条他校的截面器是平行四边形.注：楂柱有一个恻面和底面的一条边垂直可推测是总核柱.（X）/（比棱柱不能保证底面是矩形,可如图）Y（直极柱定义）棱柱有一条侧梭和底面垂直./7平行六面体：7z定理一：平行六面体的触角交于一点，并且在交点处互相平分.注:四梭柱的对角线不1定相交于一点.定理二：长方体的一条时角线长的平方等于一个顶点上三条校长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条梭所成的角为a.,y,那么COS2+CO

11、s2/?+COS2/=I.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各例面所成的角为a.f1.,y.那么COS.：f1.+COS2/7+COS：/=2.注：有两个例面是矩形的棱柱是直棱柱（X）（斜四极柱的两个平行的平面可以为掂形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正板柱.（）（应是各侧面都是正方形的H校柱才行）对地面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体（X）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）梭柱成为I1.棱柱的一个必要不充分条件是核住行条1.极与依面的两条边乖I1.（两条边可能相交，可能不相交，假设两条边和交，那么应是充要条件）（2）.梭椎：梭惟是一个面为我边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形

12、.注：-个三核锥四个面可以都为直角三角形.一个梭柱可以分成等体积的三个三极锥：所以VMe=Sh=3Vw,1.a.正极锥定义：帐面是正多边形：顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.注：i,正四极锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii .正四面体是各校相等，而正三极谁是底面为正三角形，Iw梭马底核不一定相等iii .正板推定义的推论：假设一个校椎的各个例向那是全等的等腰三角形（即侧棱相等）：底面为正多边形.正极锥的侧面枳：S=ChI底面周长为C,斜高为棱推的侧面积与底面积的射影公式：力=区（测而与底而成的二面角为）cosr附：以知C_1./,cosaa=b为二面角那么S1.=1.

13、r/，S,=!，,/，cos6=得Sm=22cosa注：S为任意多边形的面枳（可分别求笠个三角形面积和的方法）.b极推具有的性质：正校推各例校相等各例而都是全等的等腰三角形,各等稷三角形底边上的高相等（它叫做正极锥的斜向）.正桢锥的高、斜高和斜高在底面内的射影娟成一个直用三角形，正极锥的高、侧棱、仰校在底面内的射影也组成一个直角三角形.C.特殊极锥的顶点在底面的射影位祝：极锥的侧校长均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.梭锥的侧梭与底面所成的角均相等,那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.极锥的各侧面与底面所成角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱椎的原点到底向各

14、边距两相等,那么原点在底面上的射影为底面多边形内心.三梭锥有两组对棱垂宜，原么顶点在底面的射影为一:角形垂心.三桢锥的三条IW枝两两垂直，那么顶点在底面上的射影为二角形的垂心.每个四面体都疔外接球，球心。足各条极的中垂面的交点,此点到各顶点的即.离等于球半径：每个四面体都有内切球，球心/是四面体各个：面角的平分面的交点，到各面的跳离等于半径.注：i.各个恻面都是等腰三角形，且底面是正方形的极锥是正四板锥（X）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）.ii,馈设一个三校雄，两条相对梭互相垂直，那么第三坦相对梭必加垂斗Zb简证：AB1.CDrACBD=I1.C1.AD.1.B=a.AD=c,AC=bZ

15、-1.-尤:f）BC=AC-Afi-b-（j.AD=c=BC-AD-h-ac,（r-i）-0,-c）*0B=女一20那么而而力iii.空间四边形ORBC且四边长相等，那么顶次连结各边的中点的四边形定是矩形.iv.黄设是四边长与对角戏分别相等，那么项次连结各边的中点的四边是一定是IE方形.简证：取AC中点（7.那么M1.AC,的1.AC=AC1.平面87JnACi.8（7=尸GH=90易知EFGH为平行四边形nEFGH为长方形.假设对角线等.那么EF=FGnEFGH为正方形.R.球；Ua.球的截面是一个网面.球的外表枳公式：S=4成?,球的体枳公式：V=-R3b.缔度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的