《數理精蘊》連比例三率定勾股弦法之補充.docx

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1、数理精薄速比例三率定勾股弦法之祷充上傅鲁蜉名：潇柳BII2XiSOXianGun112何世SHoSaiKcung提要Y数理精蕴提及以速比例三率形成一直角三角形三遽之法其法B以中率悬股，末率典首率之差之半篇勾,末率典首率之和之半篇弦，本文提出明。此外本文亦提及相飓之引申冏题此之相随引申冏题近世数学少及者也。维同：勾股形率氏数组建比例三率辗零数数理精缄所勾股形乃指直角三角形。本文取材自清御裂数理精蕊下篇卷十二面部二勾股A睾者已有文名悬“御裂数理精盆）之勾股速比例题）及“理比例三率”法求勾典弦之数，但乃有不少资料遗漏故密本文作禅充。若.广2三整数成立以下嗣保：x2+f=2，即Jx、.y、Z三数近世数

2、擘耦之2一军氏敦自且”或“军哥拉斯敦组”；清代用I桶之卷“勾、股、弦舞零数法”，本文提出其檎成法，此即悬“速比例三率“法。直角土角形之斜谖弦敕短之直角逐悬勾，蛟片之直角遏焉股。所“簸零散”即黑小散也，整数也。第一题定勾股弦嫩零数法：S如用四八十六速比例三率，定勾股弦娓零数冏：各得黑何？法：以中率八，命热八尺焉股。首率四尺典末率十六尺相减绘卜二尺折半得六尺，卷勾。首率四尺典末率十六尺相加，得二十尺，折半得十尺，悬弦也。解：本彪提出以速比例三率法求勾股弦之整数其法麓单，但琪代数孥鲜有提及。若4、816迪比例三率，即4：8=8：16，今以此三数檎成一Ia“率氏数组”，即以4卷首率、8M中率,%卷末率

3、，即首率：中率=中率：末率。刖勾股形之股2中率8，即M殳股探8尺。勾,艮=*末率-首率）=y=6（R）-弦艮=3末率+首率）=等=m=（尺）。答：勾是6尺，股反8尺，弦是10尺，以下焉其BB:甲乙悬4，乙丁悬16丙乙悬8如圄：甲乙;首率4尺，丙乙;中率8尺乙丁末率16尺。今以甲乙典乙丁相和I共B甲丁20尺，而以丙乙立於甲丁综相和之乙虞乃以甲丁折半於戊，以戊卷心，甲丙丁卷界，作半圜*馍以丙至甲、至丁作丙甲、丙丁二缘遂成甲丙丁勾股形，其丙角立於圜界之半必2直角（见黑何原本四卷第十四Kfi）而丙乙悬垂练，即耨甲丙丁勾股形分葛甲乙丙、丙乙丁雨勾股形，而舆原形悬同式三勾股形矣（见矮何原本九卷第一第O），

4、其甲乙典丙乙之比同於丙乙典乙丁之比悬理比例三率收以中率丙乙悬股而首率甲乙典己丁等，典末率乙丁相减绘乙己折半得乙戊悬勾，又首率甲乙典末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊，戊丁半典丙戊等卷弦也。此法原卷定勾股弦三者俱辗号数之法，所之歌必彼此可以度始可立悬举刖否即J勾股弦三者必有一不翟之数矣。t上圈可知乙丙=8尺，甲乙=4尺，乙丁=16尺，取甲乙=丁己=4尺。甲丁=乙丁+乙甲=16+4=20（尺），取甲丁之中黠戊，今以戊悬01心，雀一半回甲丙丁，其半IO尺。乙己=乙丁-丁己=164=12（尺，取乙己之中y戊，即乙戊=戊己=61尺），很明域（,丙乙戊悬所求之勾股形其中丙乙=8尺乙戊=6尺，丙戊=IO尺。又徙上

5、圈!可知甲丙丁、A甲乙丙、A丙乙丁三相似，封鹰遴成比例即：妾=恁，即=?，即四八十六成速比例三率又即乙丁乙丙甲乙成速比例三率。以下其之一般状;兄及引申之题：（引申题一】今a、bc篇建比例三率，即a=3c即=g，即其胭像检Ca=护。今取b焉股，优本题可知其勾房=于。弦是=詈。股2=*，勾2=-，以Ca=代人得上空W，4434.)c2*2ca2c2+2b2a弦：=：股2+勾2=加+4t2+r2-Zft2+a2=之牛W=弦兀即股2+勾2=弦2,勾股定理成立，以上之勾、股、弦算法正硅。另法：今言殳理比例三率悬:nr=r:nr，今取舄股t本.魁可知其勾房=宁=吗少。又即可知股2=2户，I)n2r4-2n

6、2r2+nz勾-T弦2=M1.+2避/+/月殳2十勾2=2/十n2r4-2n2r2+n24n2r2n2r4-2n2rz+n2n2r42n2rz+n2g.1=；=弦2。即股2+勾2=弦2,勾股定理成立.即股、勾典弦之算法正硅。引申题二)下圈热一般之直角三角形阉：今直角三角形之弦AB悬c，勾Bc葛。，股CA区/)。c-abbcaIiE明：优勾股定理可知/=/+移Jg得：/-1=,分解因式得(c-a)(c+a)=h2移Ii得：F=.即c-ab=bc+aSjE举“bc+即c-a、+a成速比例三率。引申题三)若、b、三数成理比例三率，求相Kfl勾股形三遏房。t以上之题可知股也b-J(e+a)-(c-)J

7、=2=,弦艮卷(c+4)+(c-=*2c=c。兄上网t第二题手殳如有四、六可以度去之雨数欲定勾、股、弦瓢零数，冏：各得黑何？解；“度盍”含整数莪。超意指已知一连比例三率之首率及中率卷4及6，先求其末率，再依第一题）之法求勾股弦城零敦：法：以四尺2首率，六尺；中率，揩中率六尺自秉得三十六尺，用首率四尺除之得九尺悬末率。乃以中率六尺悬股首率四尺典末率九尺相;减6余五尺，折半得二尺五寸悬勾。首率四尺典末率九尺相加得十三尺，折华得六尺五寸悬弦也。今先求末率末率=?=F=9。故逋比例三率悬4、6及9,即可知：股艮热6尺。勾良=3末率-首率）=2T=I=2.5尺）。弦-艮=*末率+首率）=等=6.51尺）

8、。股2+勾2=62+2.52=36+6.25=42.25，弦2=6.5?=42.25，即股2+勾2=弦2,勾股定理成立。如匾:甲乙悬首率四尺，丙乙中率六尺，今以中率六尺自乘用首率四尺除之，乃得乙丁末率九尺。爰以甲乙首率乙丁末率相和，折半於戊，以戊热心，甲丙丁悬界，作半圜徨自丙至甲至丁作二源.印J成甲丙丁直角三角形，其丙乙中率即悬丙直角之垂缥故以中率丙乙篇股，而首率甲乙典末率乙丁相减，除乙己，折半得乙戊热勾；而首率甲乙典末率乙丁相加得甲丁，折半得甲戊；戊丁典丙戊等悬弦也。甲乙悬首率焉4尺，丙乙焉中率6尺，今以624=9，乃得乙丁末率九尺。以甲乙首率乙丁末率相加得9+4=13，折毕得6.5，即以戊

9、卷中黠，以戊卷圜心，作半0T豆自丙至甲至丁作.练丙甲典丙丁，卬J成甲丙丁直角三角形，其丙乙中率即2丙直角之垂绿，故以中率丙乙2股，而首率甲乙典末率乙丁相;减得9-4=5即乙已悬5，折半得乙戊焉2.5悬勾；戊丁=丙戊悬弦也，上Iffl之S可多明前题。以下2其之一般状况：引申题一今15,/尉速比例三率之首及中率，末率即7。今取6悬股，优上题可知其勾房=末率-首率）=-）=三空Z2a2a弦是=3末率+首率）=好+）=竺r股2=，.2二-2。2,b4-2b2a2+a*4b2a2+b4-2b2a2+a*股-+勾-=Zr+_+2bW+a，_2+.2）2_弦2即股2+勾2=弦2,勾股定理成立。若已知迎比例三

10、率之中率及末率可以以上相同之法求其首率及相嗣之勾股是。1引申题二）今a4悬理比例三率之首及末率，中率即43小。今取）篇股优上题可知其勾房=：（末率-首率）=-a）依前文可得弦是=M末率+首率）=*/+。股2=ad，勾2=弦2=股2+勾25+d2+2ad+a1dz-2ada24ad+dz-2ada2d2+2ad+a2弦2。即股2+勾2=弦2,勾股定理成立。注意）鹰悬整数否即J不切合本文之题若Mhd）悬照理数求勾弦之式亦合用。若a典d焉整数，刖勾、弦之辰焉整数或含0.5之小数。第三题如有8、12、18建比例三率，以中率12，倍之卷股，定勾、弦维零数，周：各得矮何?法：以首率8尺典末率18尺相减，绘

11、1()尺;勾，首率8尺典末率18尺相加得26尺悬弦也。I.SSlA丙乙戊撅大至丙庚辛丽三角形相似，丙庚=2丙乙，丙辛=2丙戊庚辛=乙戊。忧上期可知若有8、12、18速比例三率，所得之勾股形三谖片悬勾5尺、股12尺及弦13尺。若有一新直角三角形，其股焉12尺之2倍，即24尺，MJ其他雨逊亦相缰增倍，即勾检10尺，弦悬26尺。数理精盘算法日：如圄：甲乙悬首率八尺，丙乙悬中率十二(12)尺，乙丁悬末率十八(18)尺。爰以甲乙首率舆乙丁末率相和(18+8=26)，即甲丁之艮，折半於戊，即得甲戊=戊丁。今以戊热中心，甲丙丁焉界，作一Ia。又自丙至甲至丁作二绿(丙甲及丙丁)刖成甲丙丁直角三角形，其丙乙中率

12、即焉丙直角之垂缘，今符中率丙乙倍之，即得丙次2股(16)故以首率甲乙舆己丁等典末率乙丁相减绘乙己典庚辛等悬勾又首率甲乙典末率乙丁相加得甲丁(8+18=26)全径奥内辛等；弦也。盘前二法用中率悬股，故以首率末率相减折半悬勾，首率末率相加折半篇弦，此法郎I倍中率悬股，故以首率末率相减即检勾，首率末率相加即热弦，而皆不用折半也。【引申网一有一勾股形其股民4667，其勾典弦皆卷整数就以速比例三率法，求其勾典弦之可能是。解：因667=23*29，此分解法唯一。即首率悬23，中率热667，末率悬29.依前题可知：勾房=3末率-首率）=329-23）=3。弦艮=*末率+首率）=*9+23）=三=26除算：股

13、2=667，勾2=9,弦2=676。股2+勾2=667+9=676=弦答：勾艮3，股民67，弦展26”【引申期二）有一勾股形其股息篇12就以建比例三率法求其勾舆弦之可能整数是。解：因122=144.分解144篇丽整数因子之式（I亦视作因子）：1X1442X723484366248181212之因式不取。（因式I144即首率悬I，中率悬12末率焉144，依前题可知：股一=中率=12。勾辰=M末率-首率）=*44-D=券=71.5。弦辰=氐末率+首率）=#44+1）=等=72.5。注意122+71.52=72.52。二因式2X72即首率同2，中率舄12，末率德72，依前期可知：股艮=中率=12。勾

14、房=*末率-首率）=中2-2）=y=35。弦辰=a末率+首率）=372+2）=37。注意122+352=372。（三）因式3X48即首率卷3，中率舄12，末率248-依前题可知：股房=中率=12。勾=末率-首率）=348-3）=.=22.5。弦艮=M末率+首率）=.48+3）=25.5。注意12?+22W=25.5?=650.25。（四）因式4X36即首率;4，中率悬12末率篇36依前题可知：股辰=中率=12。勾艮=也末率-首率）=知64）=三=16o弦员=/末率+首率）=扣6+4）=20。注意122+16?=202=400（五J因式624即首率悬6中率焉12末率;24依前题可知：股辰=中率=12。勾是=/末率一首率）=（24-6）=9。弦辰=*末率+首率）=24+6）=?=5。注意122+92=152=225。六因式818即首率28，中率;1