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1、脚拉脚模型同模型介绍成立条件:三角彩以隽互林模块一:认识“1Wijlr模型K等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图BABZ已知:ABC.ADE为等腰直角二角形.NB=ND=90。.AB=CB,结论tBF=DF,BFDF.法1倍长中线+手拉手延长DF至点G,使得FG=FD,易证DEFBAGCF(SAS):所以CG=ED=AD,Z2=Z7;乂/1+/2+/3=560,/3+/4+/5+/6+/7=540(五边形内角和),Z4=Z6=90i所以N3+N5+N7=N1+N2+N3,所以N1=N5;弋*0,Jmabcgsabad(SAS),:所以NDBG=90,BG=BD:卜_,W:4AD=ED,点F为CE的
2、中点。国所以BF=-DG=DF,BFlDF,bH由BCFgAGEF(SAS).得BCGH.所以N2=N6=90,则N2=N1.在四边形ADEH中,Zl+Z2=18O,则N3+N4=I8O*,又N4+N5=18O,所以N3=N5注意:选界”四边形对角互补”还是“8型特HIlIDEFGCF(SAS).得GHDE.所以NH+NADE=18(T.即NH=NADE=90.所以NH=NABC=90,所以Nl=所2(8型转角),所以3=N4T证明角相等取决原有等腰亶角三角形底边与公共II点的夹角(夹角小于4S,选算“四边形对角互补”:夹角大于4法2,斜边中线+中位线取AC中点GAE中点H,连接BG.FG,F
3、H,DH.由中位线定理可知:Ki=1AE=DH.FH=-AC=BG.22Z1=Z3=Z2.所以Nl+N5=N2+4,所以/BGF=NFHD;则ABGFqFHD(SAS),所以BF=DF,ZFBG=ZDFh.ZBFG=ZFDH;所以BFG+GFH+/DFH=BFG+3+/FBG5,.选界8翦转角)=ZBFG+Z1+ZFBG.乂BFG+1+/FBG+/5=180(三角形内角和),所以BFG+1+/FBG=90,所以BFJ_DF.2、等腰三角形的序脚拉模型BAB已知:ABCxADE为等腰自角三角形,NB=ND=90,结论:CE=2BD,NBFe=45。.法一:相似ABD-ACE=O=2BDBDIZ4
4、-Z1=:N2-N3-45。(8字型转角)法二,手拉手+平行四边形将线段BD逆时针旋转90“得到线段BG,连接DG、CG。易证:ABADgABCG(SS.Z1=Z4+Z5.又3+N5+6=N75),所以/I+/2+N3+/6=/2+/4+/3+/5+/6=90+90=180所以CG平行且等于DE,所以四边形DECG为平行四边形.所以CE=DG=iBD,/BFC=/BDG=45FAB=CBiD=ED,3、角互补型脚拉Jl,AB=AC,DC=DE,点F为BE的已知:AABCADCE为等腰三角形,+r=180中点,结论:AFJ_DF.丝=tan2Af-2法1,倍长中线手投手法2,中位线相似经长DF至
5、点G,使得FG=FD,连接AD.AG.BG,延长BG与CD相交于点H.易证:BFGEFD.得到线段连接EA.EC.1)在图中依题意补全图形,并求NAEC的衣数:(2)作/8C的平分线交EC于点G,交4于点R连接CR用等式表示线段A,*FC之前的数员关系,并证明.【变式1-3.(1)如图1.AB=AD.AE=AC.NzMO=NEAC求证:BE=CD.如图2.AACA是等边三角形.P为三角形外一点,ZAPC-12()p.求证:PA+PC=PE.(3如图3,若NAC=/!C=NAOC=45,ZACD-ZED=60,.DC=3,求。长.实战演练I.如图,分别以AABC的边4B,AC向外作两个等边三角形
6、4A8O,ACE.连接8、CC交点F,连接AF.求证:AACD9AAEB:求证:AF+fiF+CF=CD.2.如图,ZABC与/)E均为等腋直角三角形,B1AC,0E_1.8D,点。在A8边上,连接EG取EC中点F,求证;AF=DFt(2)AFlDF.3 .已知:如图.AR=AC,DC=DE,0./BAC=ZCDE=90,连接BE.尸为8E的中点.求证:(1)NACD=NABE+NBED:2)FA=FD.MFD.4 .已知正方形ABC7)与正方形CTFG,A1是A尸的中点,连接。MEM.I)如图I.点E在CD上,点G在Be的延长线上,谓判断DMH的数家关系与位置关系,并直接写出结论:2)如图2
7、,点E在OC的延长线上,点G在BC上.(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.5 .如图,等边八Be外有一点。,连接加,DC.AB(1如图1.若N0W+NDC8=18O,求if:M)平分/IOCZ2如图2,若N8OC=60,求证:BD-CD=D;3如图3,延长AO交BC的延长统于点F,以BF为边向下作等边ZS8EF,r点/),C.E在同直线上,且A8O=,直接写出/CEF的度数为(结果用含的式表示.6 .在ZSASC中,AB=AC,。是边8C上一动点,连接AC,将其。绿点A逆时针旋转至AE的位置,使汨ZDAE+ZC=180,.(1如图1当N8AC=90时.连接8交AC于点匕若WiT分NA8C
8、.Hl)=2.求AF的长:(2)如图2,连接8E.取M的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系,并证明你的猜想.7 .如图I,点A在*轴上,点。在)轴上,以O八、八。为边分别作等边aOAC和等边),若。(0,4),A(2.O).1)IfZDAC=IO,.求CE的长和NAEC的度数.2)如图2,若点P为K轴正半釉上一动点,点P在点八的右边,连PG以PC为边在第一象限作等边?”,延长M4交了轴干M当点P运动时,/ANO的伯是否发生变化?若不变,求其伯,若变化,清说明理由.A-AP的值是否发生变化?若不变,求其值,若变化,请说明埋由.8 .已知点A在X轴正半轴上,以OA为边作等边AQ8,A(
9、x,0),其中X是方喏丁!=;2勺的解23x-l6x-2轴干点E,求N8H)的度数:(3)如图2,点F为X轴正半轴上一动点,点尸在点八的右边,连接正8,以房为边在第一象限内作等边尸8G,连G八井延长交y轴于点“,当点F运动时,G八F的值是否发生变化?若不变,求其值:若变化,求出其变化的范Bt9 .在平面1角坐标系中,8点在X轴上,I1.li.点A(0,“)、P(nt.n),若a、,n满足J+Wj-4“-即”+20=0如图1.求、m的值:2)如图2,若A点运动到轴的负半轴上,求OB-OA的位:3)如图3,若0是线段AB上一动点,C为A。中点,PR1.PQ且PR=PQ.连8K.请同学们判厮线段8K
10、与Pe之间的关系,并加以证明.10.如图I,在平面直角坐标系中,A0,4),C(-2.-2),HZACB=W.C=BC.(”求点8的坐标;如图2,若?C交y轴于点M,AB交X轴与点N,过点/T作轴于点E.作8广1.X轴于点八谪探窕线段MMM凡NF的数量关系,并说明理由:3)如图3,若在点8处有一个等腰Rt4;.RBD=DG.NBDG=婚连接AG.点,为AG的中点,试猜想线段与线段C的数壮关系与位置关系,并证明你的结论.己知IE方形ABCD与正方形AEFG,正方形八FG绕点八旋转一周.如图,连接8G、CF,求基的值;BG2)当IE方形八EFG加转至图位置时,连接CAHE.分别取C人8的中点从M连
11、接试探究:A4V与HF:的关系,并说明理由:3连接8从BF,分别取8、斯的中点N、Q,连接。MAE=6,请直接写出线段QV扫过的面机12.已知:在平面直角坐标系中,点八(-3.0),点8(-2,3).在图中的Y轴上求作点R使得P+PB的值加小:若AA8C是以AB为腌的等腰直角三角形,诸直接写出点C的坐标:如图,在ZiABC中,ZABC=W1.AB=BC点J)(不与点4的合)是X轴上一个动点,点E是4。中点,连接把8E绕着点E朦时针旋转90。得到FE(即NBM=90,BE=FE).连接BACT,Cl).试猜想NFa)的哎数.并给出证明.如图.丫面之角生标系中.4点在y轴上,B(b,0),C(c,0)在X轴上,ZBAC=Wa,且、C满足等式2+nc+c2=O.判断ZXAfiC的形状,并说明理由:2)如图1,尸为AB延长跳上一点,连尸C,G为.y轴上一点,若GFC+ACG=60.求证:FG平分NAFC:3)如图2,Z8CE中,DB=DE,NBQE=120,M为八中点,试确定Dw与CM的位置关系,并说明理由.14.如图所示,AARC.ZiAOK为等腰;.角形,NACB=/AED=W.(I如图I,点E在AB:.点。与C重合.F为线段8。的中点.则线段EF与FC的数址关系是