借助隐形的翅膀—圆解决定弦定角问题 论文.docx

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1、借助隐形的翅膀一圆，解决定弦定角问题摘要数学问涯的探索重在揭示问题的本质，进而找到解决一类问题的通解0对于“定弦定角问迤”的探究问题，主要借助于以下知识点：1）直径所对的圆周 角是立角：2） 90的圆周府所对的弦为近径；3）在同圆或等圆中，同孤所对的 圆心前相等。在此基础上将问题延伸.利于学生深度思考，从而达到“解一题， 会一类”的效果。关刘定弦定角数学建模一、问题背景新课程标准要求学生把学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程，并在 建模的过程中培养学生数学应用意识,引导学生自觉地应用数学方法和数学思维 去分析、解决生活中的问物J因此教师在教学过程中不但要引导学生建立数学模 型，更重要的是让

2、学生在探究性教学的学习过程中，合情、合理、高效的做到自 主建构模型，切实做到水到渠成。宅者发现2018年南通市中考题28题第（3）问，难度系数较大。通过钻研， 第者将此题的知识点细化,并将问题层层剖析，给学生搭建好“台阶”，进而让 他（）有迎雄而上的勇气，拾阶而上。二、问题呈现定义如图1,月、8为直线/ I可侧的两点，过点A作直线1的对称点月，连接 力F交直线/于点尺 连接偌 则称点，为点/1、夕关于直线/的“等角点”。运用如图2在平面直角坐标系X”中，已知点力 上） ,B （-2, -0胞 点（3）若点尸是点力，方关于直线y=ax9&KR的等角点，且点/位于直线/出的右 卜.方，当N；仍的6

3、。时，求打的取值范围。(I)从（3）中我们发现：除了要根据问题背景理解“等角点”的概念以外，关健 是解决了动点的运动轨迹问题。干是笔者主要先设置问题，遵循从“特殊”到 “一般”的设计思路,建立并抽象出数学模型，并将第（3）问当成是“母问题”， 并把它逐渐细化，形成若干“子问题”，顺理成章的为学生搭建好“台阶”， 正达到“拾阶而上，化险为夷”。三、问题探究，“大” a “小”做1 .问题情境具体化，在同感中培养高阶思雒生活中处处有数学，把数学与我们经验结合起来，让学生体会数学价值的延 续性与无限性。因此课堂教学中，恰当的问题情境是探究式教学的起点和关键，问题提出的质量直接影响后续问题的探究。究杂

4、的几何综合题，往往是若干个小知识点的综合体，因此，在通往“荆棘” 的综合道路上，需要巧设小问作为台阶，丛所铺垫，把简单问题搞清楚，做到“小 巡大作”，关联类比，这样才能从容面对“荆棘之路”，于是笔者创设下列问即 情境，抽彖出本节的数学模型。(1)如图3,已知月8=4在直线/山上方是否存在个动点只 使得NAPB=90 ? 如果存在，点产满足什么条件？(2)如图4,已知/出二,/,在直线/16上方是否存在一个动点只使得”/出竹5 ? 如果存在，点产满足什么条件？(3)如图5,已知AB=4,在直线AB上方是否存在个动点P,使得NAPB=I20 ? 如果存在，点P满足什么条件？2 .模型探究一般化,在

5、提燥中培养学生高层次思雒数学建模是一种重要的思想方法，在中学数学教学与解题中，作用巨大。因 此，利用数学模型解决问题的数学建模教学成为数学教育改革的个热点。在教 学中若能帮助学生建立最基本的数学模型，那么学生在综合题的解决中定能如鱼 得水。在上述三个问题的基础上，顺理成章的将上述问题-股化，提出第四个问题。 (4)如图6,已知AB=a,在直线AB上方是否存在个动点P,使得NAPB= ?如 果存在，点P满足什么条件？经过激烈讨论,数学模型自然生成。数学模型：若AS=H (定值)，为平面内的一动点，且/斤。(定角)， 则点尸的运动轨迹为：在以4?为弦，圆心角为2的圆上运动。3 .数学经殴再生化，在

6、实践中培养学生织出数学知织网数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要方式，数学活动经险需要在 “做”与“思考”中沉淀。教学中教师结合具体学习内容，设计高效的探究式活 动，使学生经历数学的发生、发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径3叱 因此在模型提炼的基础上需要设计数学活动，加深对模型的认识，积累些新的 活动经验，实现经脸再生。如图7,在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3 ) , B (-2, -G ),平面内有一个动点P满足NAPB=60 请你提出个有意义的问题？并解决.笔者设计了一个简单的开放性问题.让学生初步感受 AB长度一定，PB度数也一定。知道了点P的运动轨迹是 以AB为弦，

7、圆心角为120的圆上运动，于是学生可能提出如F问题:求RB的长度：点P的运动轨迹是什么？求点所在圆的圆心的坐标.当学生问出第三个问网时，也是对第个问胭的再深化。单单知道点产运动轨 迹是圆还不够，还要进一步理解为何在问题背景“已知/吩汨，在直线加上方是否 存在个动点只使得% =。？”中特地提出在直线,物的上方的原因。如图8,在平面直角坐标系中，己知2, M ）li（-2f -3 ）两点，/APM60。,且在直线/伊的右卜方，延长SP,作/4”的加平分线1： y=axb（aO） （1）若/与圆相交，交点为0,判断月国的形状： （2）求点0的坐标.设计总图：笔者设置这一 “子”问翘，已经引导学生往南

8、通市 压轴题的路上无限*拢，这一台阶的设定让学生知道： 若为”的角平分线/与例相交，若交点为0,则- 定是等边三角形“点。坐标唯一确定，即。为定点。此刻拾阶而上，提出问题（3）,学生便理解了问题（2）的 用途，降低了难度。（3）证明：直线/必过定点：设计意图：直线，为/凡、的角平分线，I必过点儿而1与圆的位置关系为相 切或相交。若/与圆歹相交，必过定点外若/与圆相切，切点一定为定点区 故第（3）向证明/过定点，便理所当然了。此刻，陈胜追击，提高学生对数学问 题的认知能力，提出下个问题。（4）如图9,若1与圆相切时，求直线/的解析式1.此刻，对学生难度有些大，如何理解直线/与圆后相切呢？教新设置

9、台阶I：直线/与圈少可能存在哪些位置关系？台阶2：无论直线,与圆存在什么美系，它定过哪个定点？台阶3：直线,与圆相切时，过不过定点0台阶4：直线/与圆f相切时，切点到底在哪里.？有没有思路？在这样的追问卜.，学生渐入佳境，真正感受到这四个问题之间的连接点，以“小”见“大”，环环相扣，此刻再补“刀”，提出下个问题。（5）如图10,若尸在弧阿（包括端点）上运动,求A的取值范围.设计意图：感受直线/与尸轴交点的变化与切点0有关，若，为圆6的切线， 此时的6值最小，当点尸在弧阳上运动时，的值逐渐增大，但直线，不能与X 轴平行。故b的临界值有三个。点动就透4 . “子”问题的设计思路it程化，“母子”浑

10、然天成如图11, “了”问题是铺垫，是垫脚石，它们以点尸的运动轨迹为生线，对 特殊的直线/展开两方面的研究.先从直线/与圆的一般的关系一相交出发，找 到突破点，研究透彻特殊直线1过特殊点。由此进行类比、迁移，考察直线/与 圆的特殊的背景卜.，是否也恒过这个特殊点。在这样的思维认知卜.，方能从容面 对问题（5）。这样，再回首“问题呈现”，立刻茅塞顿开，达到化“干戈”为“玉 用”的效果.四、解决问题，总结提升如图12,在平面直角坐标系XOy中，已知点力（2 3 ； , 4G2-、行）两点。（3）若点尸是点Af8关直线y=ax+b（a0）的等角点,且点，位于直线.伯的右 下方，当N7力=6时，求。的

11、取值范围。小结：本题在上述问题串的设置后，思路很清晰：（1）由相交，找定点：（2） 由定点，找临界：（3）由转动,定范困。五、结语数学建模思想、转化思想作为应要的数学思想方法，在学习数学和解决问迤的 过程中无处不在。对于教师而言，要使学生对几何综合题有因难而上的勇气，要 使笈杂的综合题型无处遁形，唯有多途径、多角度的渗透模型思想和转化思想， 教给学生时“大问题”学会解例的方法，教给他点石成金的探究策略，才能使学 生受用一生。参考文献：1中华人氏共和国教力部.义务教音数学课作标准（2011年板）M.北京：北京用范,大学 出版社,2012.2我佩玲.教学是圾方法与中学教学M.北京：北京师范大学出版社.2008.