专题测试题直线与圆.docx

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1、专题14直线与圆(1)【自主热身,归纳总结】1、在平面直角坐标系Xoy中，已知过点A(2,1)的圆C与直线x+y=l相切，且圆心在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为-.【答案】：(-l)a+(y+2)2=2解法1(几何法)点A(2,1)在直线x+y=l上,故点A是切点.过点A(2,-1)x-y=3,x=l与直线x+y-l=0垂直的直线方程为x-y=3,由11解得C所以y=-2x,y=-2,圆心C(l,2).又AC=Y(2-1)(-1+2)所以阿C的标准方程为(x-D?+(y+2)2=2.解法2(方程注)由同，诙肥生r=-2*上，可设图心为(a,-2.),国的标准方程为6+2.)：=rj(rX

2、).要原定两个待至置,一的1,Q霄尊立两个合a,的尊式，建立方程组审解.由圆Cil克j(2-)：；=/,A(2,-1),且与宣缘X+y=IlBV,l-2-l.卬f+：?解黑附同Crw泅方程为(X-/+(y+2)=2.Ia+2*+l=2r,U=2.2、在平面直角坐标系M，中，直线*+2y-3=0被圆(X一2尸+3+1)2=4截得的弦长为.【答案】：等.【解析】圆心为(2,一1)，半径r=2.圆心到直线的距离=立d=芈所以弦长为2pl=2”乎2=噌3、若直线与圆始终有公共点,则实数m的取值范围是.【答案】:010.【解析】因为,所以由题意得：，化简得M-55即0B10.4、在平面直角坐标系KOy中

3、，以点(1,0)为圆心且与直线(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.【答案】：(x-1)2+=2.【解析】由直线m-y-2m-=Q得m(x-2)(y+1)=0,故直线过点(2,一1).当切线与过(1.O),(2,一D两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r=T+T=2,故所求【网的标准方程为(1一1+y=2.5、圆心在抛物线y=,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为.1.答案】：(xl)2+y-)=l思路分析求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切,得到留心的一个等式,再根据留心在抛物线上,得到另一个等式,从而可求出圆心的坐标，由此可得半

4、径.因为圆心在抛物线尸*上,所以设圆心为(a,)，则1=26.又圆与抛物线的准线及P轴都相切,故b+=a=r,由此解得a=l,b=:,r=l,所以所求圆的方程C乙为j)2+j-j-=.解后反思凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化,其关键在于求圆心的坐标.6、在平面宜角坐标系*力中，已知网Cli(X4)(y8)=1,11G：(*6)+(y+6)2=9,若圆心在*轴上的圆。同时平分圆C和圆C的圆周，则圆C的方程是答案】：+y=8i思路分析圆C平分圆C等价于：两圆的公共弦是圆C的亘径.殿图C的国心为C(e

5、O),半校为了，则f=8i+l且F=E+9,即:/.:.+1,解口I6+6+9=y,例内二所以图C的方程为+y=81.=8i.7、.在平面直角坐标系A勿中，已知过点”(1,1)的直线/与圆(x+l)2+(y-2)2=5相切,且与直线ax+y-l=0垂直，则实数a=.【答案】：T思路分析可用过圆上一点的切线方程求解：也可用垂直条件，设切线方程(*-1)-a(y-l)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点”在圆上,所以切线方程为(1+D(X+D+(l2)32)=5,即2-y-l=0.由两直线的法向量-1)与(a,1)垂直,得2a-1=0,即a=：.思想根源以圆Cr-a)+(yO)?=/1上一点

6、7(题必)为切点的切线方程为(刘一G(X-G+(7/)(y-Z)=.e8、若直线A：y=x+a和直线&：尸:*+力将圆(万-1)：+(尸-2)：=8分成长度相等的四段弧,则4+.【答案】：18.【解析】：由IiJi初四段郴所对的IS心角均为8，甥心cu,2)到亶线J.,4的距离H半产=2由=2,得|一】|=2#，同整Ib-Il=M,所以0,，分别为lM,fl*y=18.解后反思实际上，a,A罡方程(1.l)；=8,即，-21.7=O的两个根，曷足+b=2,岫=-7,所以J+y=(+)j-2a=4+14=18.9、若直线3x+4y-m=0与圆+y22-4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范困

7、是.【答案】：0,10,【解析】：圆的标准方程为+DT5-2)2=,故圆心到直线距离d=I-3+8一加附+4,0,所以a=4.11、定义：点M(WNII)到直线的有向距离为.已知点A(T.0),8(1.0),直线,“过点23.0),若圆上存在一点C,使得4及C三点到直线加的有向距离之和为0,则直线/的斜率的取值范围为.【答案】：(f-m4【思路分析】由“A.8C三点到内线，H的有向距离之和为0知,动点C在一条内线上,卜因为点C在Ba上,故问题转化为该直线与圆布公共点,此时圆心(0,18)到该直线的距离小于等于半径9.【解析】：设百.线切的斜率为人-，则岂线m的方程为y=*(x-3),即,设点“

8、,九),则点A,B,C三点到直线，口的有向距离分别为,即，乂因为点在C圆上，故,j.12、已知圆。：/+=4,若不过原点。的直线/与圆交于只。两点,且满足直线OP,PQ,酸的斜率依次成等比数列,则直线1的斜率为.答案】:1思路分析由直线闾的方程与圆的方程联立成方程组,将点P,。的坐标用直线方程中的参数k,b表示出来,进而将OP,园的斜率用k,b技示,再根据OP,PQ,阳的斜率成等比数列求出的值.当直线闻垂直于X轴时，显然不成立,所以设直线PQR六=履+伏#0）,将它与圆方程联立并消去IK得（V+l）M+2Mx+）-4=0,设/（加,%）,仇及,乃），则XIAr2Z2-4=*+1一Zkb7+T,

9、因为MM=(A%+)(Arx+6)=XX+AZ,(x+x:)+Z,=642!Cl),4/+Z/1,ME4A+Z,ar.j,z.,.、k7+T-7+T+b=+I故荔=4=T即ta-D=0,因为Z0,所以=1,即A=l.,12解后反思本题可推广到椭圆中：已知椭圆C5+*=l(aM0),若不过原点。的直线I与椭圆。交于A0两点,且满足直线OP,PQt园的斜率依次成等比数列,则直线/的斜率为413、已知线段初的长为2,动点C满足费劭=（ZUO）,且点C总不在以点B为圆心,J为半径的圆内，则负数4的最大值是【答案】：思路分析建系，以线段用所在直线为X轴,线段仍的垂直平分线为y轴.动点C的轨迹为圆。(或为

10、一点,可视为点圆)，欲使点。总不在以点8为圆心为半径的圆内，也就两圆外切或外离,.或者圆“内切或内含于圆6再根据圆心距与半处的关系求解即可.以线段力力所在直线为X轴,线段,伤的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设点C(x,力，则。+_/=1+1,且0久N1.当两圆外切或外离时，Oli=YT+713II5+5,解得-p圆内切或内含于圆时，如=1/715，解得Q(舍)，故负数1的最大值是一彳【问题探究,变式训练】例1、已知圆G(*给+(7一给2=1(苏0)与直线尸3相交于2。两点，则当0%的面积最大时,实数a的值为.【答案】乎【解析】：因为，%的面积等于sinTQ所以当/T0=9O时,%的面积最

11、大,此时圆心到直线y=3*的距离为半,因此乎=-,解得a=埠乙乙y10N【变式1、.已知直线/过点f(1,2)且与圆GM=2相交于48两点,胸的面积为1,则宜线/的方程为.【答案】3l+5=0或片1当H线斜率存在时，设宜线的方程为y=*(x1)+2,即以一y一+2=0.因为S=OfCBsinZ/O=1,所以)正y2sinZO=1,所以sinZCB=1,即sin/48=90,所以圆心。到直线,仿的距离为1,所以i-A+2i=1,解得A=*所以直线方程为3-4y+5=0;当直线斜率不存在时,直线方程为x=l,经检验符合题意.综上所述,直线方程为3*4.+5=0或*=1.【变式2、在平面直角坐标系M

12、r中，圆G：(x-1)2+4=2,圆Q(-7)-+(y+=后,若圆G上存在点尸满足：过点/向圆C作两条切线PAiPB,切点为4,/I4P的面积为1,则正数力的取值范围是.【答案】：1,3+23思路分析注意到AABP的面积是定值,从而点P的位置应该具有某种确定性，故首先由AABP的面积来确定点P所满足的条件,进而将问题转化为以。为圆心的圆与以G为圆心的圆有公共点的问题来加以处理.如图，设P(x,y),设PA,PB的夹角为2O.ABP的面积S=:PAs%2O=Psincos=Pr=1,即蛆PA=ZvrCPa=PA?+2,解得PA=*,所以PC1=2,所以点P在圆(-l)z+y2=4上.所以m2I-

13、1in1彳inm2,解得lm32j3.解后反思本题的本质是两个圆的位置关系问题，要解.决这个问题，首先要确定点P所满足的条件,为此，由AARP的面积来确定点P所满足的条件是解决本题的关键所在.【变式31已知点A(l,0)和点B(0,1),若圆x2+y2-4-2y+t=0上恰有两个不同的点P,使得APAB的面积%则实数t的取值范围是.1cf(S思路分析勉设“四+,-2y+t=0上恰有两个不同的点P,MAPAB的面枳为”等价于“圆上有2目只有两个点到更线AB的距看为学”，进而用叁圆心到直线M的距面在什么范围内符合题意./+y4-2y+t=O的方程可化为&-2)；+(y-l)；=5-t,ifi点P到色纹AB的葩高为h,WjS_.=1x2h=,解声h=坐，而圆心到直线AB的距宦为止，欲使得国f+-4-2y+t=O上恰有两个不同的点P,使用APAB的面织内;，R腐要圆上有目只有两个点到宣线AB的距Si为半，稔网的单餐后W(/邛，s+野黑得【关联II过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD1则四边形ACBD的面积为【答案】：19【解析】：设0到AB的距离为4,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得d；=r2一群QT鄂,.1T-AB=CD,故而且&=d产痴=等,所以偿)2=r2-dl=16-y=y,得AB=38,从而四