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1、做专题2-1导数在研究函数中的应用(四大核心考点)【考点目录】考点一:利用导数研究函数的最值和极值考点二,利用导数研究曲线上某点切线方程考点三:利用导数研究函数的单调性考点四:函数在某点取得极值的条件题型解密考点一:利用导数研究函数的最值和极值一.选择题(共1小题)1. (2022秋黄浦区校级月考)若/(X)在区间SM内有定义,且xg,b),则八Xo)=0”是乜是函数/(X)的极值点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件【分析】根据极值的概念,导数的几何意义即可求解.【解答】解:由/(x0)=0不一定能得到%是函数/(X)的极值点,反例/(x)=3
2、,/,(O)=O,但X=O并不是/(x)的极值点,反过来:X0是函数/(x)的极值点也不一定能得到f,(x0)=0,反例/()=,x=0为f(x)的极小值点,但f(x0)不存在,./(%)=0”是是函数/(x)的极值点”的既非充分条件也非必要条件,故选:D.【点评】本题考查值的概念,导数的几何意义,属基础题.二.填空题(共10小题)2. (2023秋徐汇区校级期中)己知函数/(x)=-f+3+,若存在三个互不相等的实数小,p,使得/(m)=/()=/(P)=2024,则实数。的取值范围是_(2022,2026)【分析】由题意,对函数/(x)进行求导,利用导数求出函数的单调区间及极值,再根据题意
3、列出不等式,即可得解.【解答】解:已知/a)=-/+?+。,函数定义域为H,可得/(x)=-3/+3,当XCT时,,(x)0f/(x)单调递减;当TxO,/(x)单调递增:当xl时,(x)0,f(x)单调递减,所以当X=-I时,函数“X)取得极小值,极小值/(T)=-2,当X=I时,函数/(x)取得极大值,极大值/(1)=2+,若存在三个互不相等的实数小,p,使得/(M=()=/(p)=2024,此时22024解得2022vV2026,则实数。的取值范围为(2022,2026).故答案为:(2022,2026).【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查了逻辑推理和运算能力.3. (
4、2022秋奉贤区期末)已知某商品的成本C和产量4满足关系C=50000+200夕,该商品的销售单价P和产量g满足关系式P=24200-1g2,则当产量。等于200时,利润最大.【分析】将利润表示出来,利用导数求出函数最值即可.【解答】解:每月生产g吨时的利润为/(夕)=(24200-(q2)q-(50000+200g)=-+2400(50000(0.0).由/(,)=-/+24000=0,解得夕=200或一200(舍去),在0,+8)内只有一个点q=200使f,(q)=0,.它就是最大值点,且最大值为/(200)=XZOO,+24000X20050000=3150000(元).每月生产200吨
5、产品时利润达到最大,最大利润为315万元.故答案为:200.【点评】本题考查导数的应用,属于基础题.4. (2023秋松江区校级期中)函数/(x)=2f-l的极值点为Q.【分析】求出函数的导数,通过导数为0,即可求解函数的极值点.【解答】解:Vf(x)=2x2-lfff(x)=4x0=x0./(x)在(-,0)上是减函数,在(0,+8)上是增函数,.当x=0时,函数取得极小值,无极大值.故答案为:0.【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值点,属于中档题.5. (2023春徐汇区校级期末)已知X,y(0,+8),满足2x+y=2,则x+Jx+/的最小值为【分析】利用不,歹的关系将),换成关于X
6、的表达式,然后利用导数判断函数/(x)的单调性,进而求得式子最小值.【解答】解:由x0,y=2-2x0t解得0xl,则Xyx2+y2=x+yx2+(2-2x)2=x+y5x2-8x+4=/(x),则/(x)=l+r,I=令/a)=。,解得=3,5x2-8x+45则可得Xw(0,)时,,(x)0,所以x=(,y时,函数/(x)取得极小值,也是最小值(+5()2-8+4=I.故答案为:5【点评】本题考查函数最值求法,属中档题.6. (2023春金山区校级期末)函数/(x)=史在(0,2上的最小值为_e_.X【分析】函数/(X)=交,(0,2,利用导数的运算法则可得广(X),研究函数/(X)的单调性
7、即可得出X结论.【解答】解:函数/(x)=C,(0,2,XT(X)=华辿,f(1)=0,XX(0,1)时,f,(x)Ot函数/(X)单调递增.x=1时函数/(X)取得极小值即最小值,f(1)=e.故答案为:e.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7. (2023春杨浦区校级期中)已知/(x)=F,a0,对于数列%,有q=0,+1=),若存在常数M0使得对于任意的N*,都有册、M,则的取值范围是_(0占一e【分析】由题意,存在常数材0使得对于任意的cN*,都有*.可得到的,解出册,/竺,a从而得到分离参数。,然后用导数研究函数的最值,从而求出。
8、的取值范围.【解答】解:.存在常数M0使得对于任意的N*,都有勺,4+卜,又1=aea(0).aea.,M,即akIn-.:.M=In-,.”WM0).ae令f()=(x0),f,(x)=J.,.f(x)在(0,1)上单调递增,在(l,+)上单调递减,(xU=-00且。口)的极小值点和极大值点.若凡吃,则4的取值范围是e【分析】由已知分析函数/(x)=2(z-ex)至少应该两个变号零点,对其再求导f,x)=2ax(lna)i-2et分类讨论0“1时两种情况即可得出结果.【解答】解:对原函数求导/(力=2(7白-夕),分析可知:/(x)在定义域内至少有两个变号零点,对其再求导可得:f,(x)=2
9、/(EZ)2-Ie,当时,易知/(X)在R上单调递增,此时若存在/使得/(仆)=0,则r(x)在(-OO,小)单调递减,(/,+8)单调递增,此时若函数/(X)在X=%和X=W分别取极小值点和极大值点,应满足不满足题意;当0l时,易知/“(X)在R上单调递减,此时若存在/使得/(见)=0,则O,ee-e-eBP:-elog,-=alna=InalnaInaInaa(Ina)2(Ina)2(Ina)2Ina解得:-aef又因为OVaV1,t?1ee综上所述:。的取值范围是d,i).【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数极值点问题,考查运算求解能力,属于中档题.10. (2023春浦东新区校级
10、月考)已知/(x)=阮a/+。,若对任意工,都有/(0,则实数。的取值范围是_2_+00)_.【分析】/(X)=加X-Or2+”,xl,+0,函数/(x)在xl,+8)上单调递增,f(1)=0,.x0时,/(x)0,不满足题意,舍去.当0时,ff(x)=必丝,X1,即0)上单调递增,同上,舍去.2a20化为:ln1d)+2a1.0函数g(八)=加(2)+2-1在a.;时单调递增,g(;)=0,因此对任意都有/(x)0,则实数的取值范围是g,+oo).故答案为:g,+8).【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11、11. (2023春宝山区校级期中)已知正实数X,y满足加r=y/+/砂,则歹-的最大值为bt1.【分析】由正实数X,j,JSInx=yex+Iny,变形为二加二=Xe,eyIn-=xex令/(x)=Xex(0,+oo),yyy利用导数研究函数的单调性可得加j=x,y=卞,可得y-e-=子,令g()=?,(0,+),利用导数研窕函数的单调性与极值即可得出结论.【解答】解:由正实数X,歹满足/“X=泗”,变形为三加色=xeyyIn-.eyln-=xex.y令/(x)=Xr,x(0,+oo),ff()=(+)ex0f.函数/(x)在XW(0,+oo)上单调递增.y令g(x)=1.x(0,+),e,/、2Xg(x)=h.