人教版选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义.docx

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1、案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点抛物线的几何性质v2（D范围：因为0,将方程丁=2漏0）变为冗=?一，知x0,由此可知，抛2p物线y2=2/p0）上的点在y轴上或在y轴的右侧（不可能在y轴的左侧），当X增大时，N也随之增大,开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。（2）对称性将抛物线y2=2*0）中的y用一y代替，方程不变，说明抛物线y2=2px（p0）关于X轴对称（结合图形也可看出）。抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴。（3）顶点在方程y2=2H（）中，令y=0,得R=O,（0,0）点是抛物线y=2px与它的对称轴（即X轴）的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。由此可

2、见，抛物线y2=2Mo）的顶点是坐标原点（0,0）o（4）离心率和开口方向抛物线的离心率：抛物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，仍用e表示。由抛物线的定义易知抛物线的离心率e=l。利用e=l可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，将距离只用点的横坐标（或纵坐标）来表示，使问题得以简化。抛物线的开口方向：抛物线V=2M”（）开口向右；y2=一2/（）开口向左；Y=2PMP（）开口向上；炉=一2丁（）开口向下。抛物线的开口大小：在抛物线V=2pMp0）中，对于同一个X值，越大，|），|也越大，也就是说抛物线的开口也越大。给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向

3、、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。四种形式的抛物线的几何性质比照方下：标准方程y2=2PX(P0)y2=-2px(p0)图象I0)X2=-2py(p0)图象r九y，P1/If类型X2=2py(p0)x2=-2py(p0)性质焦点心用准线T范围xeRiy0xR,yO对称轴y轴顶点0(0,0)离心率e=l开口方向上向下典型例题分析题型1抛物线的几何性质应用【例1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为X轴，且与圆/+y2=4相交的公共弦长等于25,求这条抛物线的方程。解析因为圆和抛物线都关于X轴对称

4、，所以它们的交点也关于X轴对称，即公共弦被X轴垂直平分，于是由弦长等于2i,可知交点织坐标为6。答案设所求抛物线方程为/=2px(p0)或/=-2PMPO)O设交点A(XIQ%0)的一个内接三角形的一顶点在原点O,三条高线都通过抛物线的焦点，求这个三角形的外接圆的方程。原点为顶点的等腰三-OAlBF,又答案由题意，三条高都通过抛物线的焦点，那么此三角形为以角形，如图。设A(Xo，%),那么一X)O,v2y：=2pxq,:.2xqp=-fj=Xo=/。15OROA=OB=-P.2设。4的中点为尸，那么P点坐标为jp,当P,OA的中垂线方程为:y-4P=-5Xp4标为(二149,当y=0时，X=p

5、,.外接圆圆心坐49Y2252-P+y=p。4)4解得y=p(l2)o规律总结由直线方程要好，一是化简的计算由正弦定理：=ZR=黑=2R=R=p外接圆方程:sinZOABOQ2OA题型2抛物线的焦点弦问题【例2】如图，过抛物线丁=2外(0)的焦点尸作倾斜角为工的直线，交抛物线于A、B两点、,A点4在R轴上方，求已彗。商解析设直线A3的方程，由直线方程和抛物线方程可得到A,8两点的坐标，然后再根据坐标的意义和平面几何中相似三角形的知识就很容易求出已4。附答案.直线48的倾斜角为?，且过焦点尸(g,0),，可设直线AB2y=x-。将丁二2工代入上面的方程，得/一2),一p2=o.A点在X轴上方，.

6、力=p(l+=，,容=丝=国=在43+2日阀BB1I词p(2-l)和曲线方程化为关于y的二次方程比化为关于/的二次方程简便，二是更容易得出比值。【变式训练2】过抛物线的焦点尸作不垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点、,线段AB的垂直平分线交X轴于N,求证：4且=2|八目。答案设抛物线方程为V=2px(p),A(x1,yl),凤/，)，AB的中点为M(Xo,%),那么yf=2pxl9y1=2px2两式相减并整理得上二五二3-Jl+J2.M是AB的中点，.Xf=2jj，。一2y0y0.MNJ_ASZwV=-%P直线MN的方程为yyQ=%(xx0)oP令y=O得N点的横坐标XN=+PO,阳=”$与

7、+会又MM=IA同+忸尸I=芭+/+P=2,o+KI2.=2VFo题型3抛物线的最值问题【例3】试在抛物线V=4x上求一点A,使A到点81回,2）与到焦点的距离之和最小。转化为求IABl+wq线时A5+Aq值变答案由易得点CBJ_奉线，于C,值。解析如下图，易知点3在抛物线内，由抛物线定义知，点A到点尸的距离IA百等于A到准线的距离IAq,故问题由原来的求IA目+A月最小，最小，由平面几何知识有A移动到A位置，使C,A,6三点共为最小值WCI+WN,此时的A点即为所求。B在抛物线内，K=I,准线方程X=-I,如图，过3作2直线BC交抛物线于4,那么IA耳+|ACI为满足题设的最小因为C5X抽，

8、B坐标为小,2）,所以A点坐标为（x,2）。又因点A在抛物线上，所以A（l,2）即为所求4点，此时最小值为忸Ci=g+1.规律总结此题在解答过程中，充分运用了抛物线的定义，在定义的应用中将抛物线上的点到准线（或焦点）的距离转化为到焦点（或准线）的距离，是一种常用方法。【变式训练3】48为抛物线y=/上的动弦，且AB=（为常数且l）,求弦AB的中点M离工轴答案如右B三点在抛由抛物线的的最近距离。图，设A,B点的纵坐标分别为M,内，3，AM物线准线上的射影分别为A,M,3。定义，M月=IAAl=y+：,忸月=Wm=%+：。.y=|4月_,%=忸月一（，又M是线段AB的中点，%=gG+y3)=g(A

9、F+忸=等号成立的条件是AEB三点共线，即AB为焦点弦。.最近距离为：(2。-1)。【例4】定点M(,0),试在抛物线y2=2pMp0)上求一点，使得IMNI最小。解析在抛物线上任取一点N(XO,凡)，然后利用两点间的距离公式表示出IMNI,这样可得至UMNI关于小的函数，然后对这个函数进行探讨。答案设抛物线V=2pM”)上任一点为N(Xo,%),那么有M=2p%,IMM2=(x0y+yj=x-2ax0+a2+2PXo=Xq-(2a-2p)xQ+a?=x-(a-p)2-p2+2apo(1)当p时，玉)=。一使N最小，那么Nb-p,y2p(a-P)；(2)当p时，/=0使IMNI最小，那么N(0

10、,0)。规律总结在含有参数时，要注意对参数不同取值进行讨论。【变式训练4】抛物线=-2py(p0)上的点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1,求P的值。答案设点M(X1.是抛物线上任意一点，其到直线的距离为d,那么I2p)j4h-84)一料2cM由一一/+3%一8的判别式八=9一上0)上的两点，且。4_1.O6。(1)求A、3两点的横坐标之积和纵坐标之积。(2)求证直线A3过定点。解析此题题干较为简单，由。A_1.OB可得等量关系AcM4。8=一1，可求4、B两点横、织坐标之积，写出直线A3的参数方程可得其所过定点。答案设A(XpyJ%),%=，=为MX2OAOB,-kOAkOB=,.x1x

11、2+yly2=O.Vy12=2px1,y；=2px2,在鲁+y%=y,%w，2p2p:.My2=-4pXIX2=42。=代=2p%,y；=2p%,二(y-%Xy+y2)=2p(,-2).%一%=2/M+为直线AB:yM=(x-x),M+2y=2pxM+)22p+yJi+.y?=2px1,y1y2=-472,1.2px-4p2.y-十9yi+y2y+%-y=2p(-y-2p),yt+y2.ab过定点(2p,0)。2方法指导对于抛物线过焦点的弦，其与抛物线交点的坐标满足%=?，M%=一2,在求证直线过定点时，一般是先写出直线方程，再确定所过的点。【变式训练51过抛物线=2pHp0)的焦点厂的直线交

12、抛物线于Aa,凹),凤为，%)两点。求证：(1)尢/2为定值；(2) +Jj为定值。解析应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识来转化。答案抛物线y2=2外的焦点为b(go),设直线AB的方程为丁二%卜一5)(ZW0)。y=k(x-由rI2力肖去y,y1=2px,得二V一,2+2卜+=0。由根与系数的关系得五=(定值Xr2=g.定值)。42当A5_1.x轴时，%=%2=，AiX2=f也成立。(2)由抛物线的定义知,F=xi+,F=x2-o1 111+-+IM阿x1+12-2_xi+x2+P_xi+x2+P-(xi+X2)+xx2+-(xx2)=内+室+=E（定值）。（xl+x2p）2当轴时，E4=Irq=，上式成立。规律方法总结1 .抛物线的离心率为e=l,应区别于椭圆的离心率Ovel.2 .解决与抛物线焦点弦有关问题的关健在于充分利用抛物线的定义，并从几何角度进观察分析，