立体几何中的轨迹问题.docx

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1、立体几何中的轨迹问题。常考题型目录题型1等距法求轨迹1 类型1求轨迹形状1 类型2求轨迹长度3 类型3求轨迹面积4题型2距离和为定值求轨迹长度5题型3由平行求轨迹5 类型1求轨迹形状5 类型2求轨迹长度6 类型3求轨迹面积8题型4由垂直求轨迹8 类型1求轨迹膨状8 类型2求轨迹长度11 类型3求轨迹面积13题型5由等角求轨迹13 类型1求轨迹形状13 类型2求轨迹长度14题型6交轨法求枕迹长度15题型7根面求轨迹长度15题型8翻折求轨迹长度15题型9投影法求轨迹16题型分类题型1等距法求轨迹类型1求轨迹形状【例题1-1已知线段。垂直于定圆所在的平面，口,是圆上的两点，。是点。在。at的射影，当

2、。运动，点。运动的轨迹（）CA.是圆B.是椭圆C,是抛物线D.不是平面图形【变式I-In在三棱台AIBlCI-ABC中点D在AIBl上月AAIIIBD点乂是411171Z71内（含边界）的一个动点，且有平面BDMll平面AiC,则动点M的轨迹是（）C.线段，但只含1个端点D圆【变式1-12.如图所示，。为正三角形，四边形U为正方形，平面SAI平面口口口口口为平面口口口口内的一动点且满足口口奥氤口正方形口口口口内的轨迹为（C正方形OAOO的中心）【变式1-1】3.如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD，中，E、F分别是AD、AD，的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端

3、点N在底面A,B,C,D,上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为A学李匏弓【变式1-1】4.四棱锥P-OABC中，底面OABC是正方形，0P0A,OA=OP=a.D是棱OP上的一S）点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q,当DE=a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为311,则a的值是（）A.23B.26C.36D.6【变式1-15.如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高10中电线杆顶上，记电线杆的底部为点。.把路灯看作一个点光源,身高15方女孩站在离点。5U的点。处，回答下面的问题.（1）若女孩以5%半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图

4、形，求这个图形的面积；（2）若女孩向点丽行达点。，然后从点O发沿着以Z7Z7对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状.类型2求轨迹长度【例题1-2】在正方体SS-口101口1口1中,已知Oa=7,点0在棱7。上，且口口=4,则正方体表面上到点。距离为5的点的轨迹的总长度为（）A.?B.（4+3211）C.等D.（4+33）11【变式1-2】1.已知正四棱柱一口口口口中2口口=2点M为口口1的中点若P为动点fi11Z7=2则P点运动轨迹与该几何体表面相交的曲线长度为（）A.311B.411C.611D.811【变式1-2】2.正方体口口口口-口口口0的棱长为1,点。在

5、三棱锥&一口口阖表面上运动，目口口=乎,则点a九迹的长度是（）AK+25d23+6663+6rC23+663【变式1-2】3.在j悻口口口口一口1口1口1口1中,口口=4,OD=3l口口、=5,点P在长方体的面上运动，且满足DD=5,则P的轨迹长度为()A.1211B.811C.611D.411【变式l-24.在棱长为1的正方悻口口口口-口口&中，点P在侧面&111运动.若点P到点A的距离为竽,则动点P的轨迹在正方形。0口1内的一段曲线长为()A禽。B2百7Ca底口D口333,6【变式12】5.如图，在四棱锥。-口口口3,侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形侧面SO_1.底面A

6、BCDWl为底面ABCD内的一个动点且满足口口，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为类型3求轨迹面积【例题1-3在棱长为1的防悻口口口口-口口、00中，点。是底面7。内的动点,tag口N1,则动点轨迹的面积为动线段的轨迹所形成几何体的体积是.题型2距离和为定值求轨迹长度【例题2在棱长为1的正为体口-口】4中，点P是正方体棱上一点，且满足Z7?+1=2,则点P的个数为.【变式2-1如图，在棱长为3的正方体uo-4中，点P是平面内一个动点，且满足。+Z7Z71=2+13,则点P的轨迹长度为.题型3由平行求轨迹类型1求轨迹形状【例题3-1】在三棱台a44一ODZj中，点。在上，目I彘口是三角形内（

7、含边界）的一个动点，且有平面。平面,则动点。的轨迹是（）人.三角形a&1边界的一部分B.一个点C.线段的一部分D.圆的一部分【变式3-11.如图，在正四棱锥一口口口皿,理。中点，点在侧面4口口口内及其边界上运动,并且总是保持OOll平面30.则动点，的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（）【变式3-1】2.如图，在北方悻口口口口-口口1口1口1中,是棱。4的中点,。是侧面口1内的动点，且D与平面。，的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）B.4D0是异面直线C.点中）轨迹是一条线段D.三棱锥。-的体积为定值类型2求轨迹长度【例题3-2】已知正方体。7。7-口1口1ZJ14的棱长为2,点M、N在正

8、方体的表面上运动，分别满足：口口=2,口口北礴口口口,设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、11,则并.【变式3-21.在棱长为2的正方体吹7-口口口中，E为棱BC的中点，F是侧面g口口口1内的动点，若口。/平面011,则点F轨迹的长度为（）A.yB.2C.当D.22【变式3-2】2.如图所示,正方悻口口口口-口的棱长为2,E,F分别为口。1,Do的中点，点P是正方体表面上的动点，若口口H睁口口1口口,则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）A.25B.2+25C.22+5D.22+25【变式3-2】3.如图，已知正方体。00的棱长为2,以。分别是棱口口1，口1&的中点,点。为底面四边形。内

9、（包括边界）的一动点，若直线&口与平面口口口无公共点,则点。在四边形内运动所形成轨迹的长度为.【变式32】4.如图，在矩形。中,口口=6口口=4,口口口K别为口口,口口口口，口口中氤,与口口彘口现将口口口，1.J1.J1.J,1.J1.J1.J,口口口分别沿OO,11D,D11,。口巴这个矩形折成一个空间图形，使7与。重合，7与。重合，重合后的点分别记为，D1ZT为7。的中点，则多面体SSOB）体积为若点。是该多面体表面上的动点，满足O01.。时，点口的轨迹长度为GH-O【变式3-25.在棱长为2怛正方体口口口口一口1口1口1口1中,4o分别为口口,口口,口1口1的中点、,点。在底面7。内，若

10、直线与平面殳有公共点，则线段乜张的最小值是.P的轨迹长度为.【变式3-2】6如图,各棱长均为。的正三棱柱吹7-口。、O&别为线段40、h的动点,且mil平面P点U轨迹长度为3,则正三棱柱。1口&的体积为（）【变式3-27.如图，直四棱柱。一口1口1口1口1,底面口口口口是边长为6的正方形，。，分别为线段的动点，若直线Oa与平面没有公共点或有无数个公共点，点。为的中点，则a点的轨迹长度为.【例题3-3在边长为2克正方体口口口口-口、口1口1口中,点M是该正方体表面及其内部的一动点，且。平面。0口t则动点M的轨迹所形成区域的面积是.【变式3-3】i.正三棱柱。4的底面边长是4侧棱长是6,mn分别为

11、,的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MPIl平面。则动点P的轨迹面积为（）A.53B.5C.39D.26【变式3-32.已知正方体。/7。-的边长为2,M是。的中点，点P在正方体内部或表面上，且平面,则动点p的轨迹所形成的区域面积是一.题型4由垂直求轨迹【例题4-1】如图在日体口口口口-口口口口中,小底面。上的动点,且口口1口1方口,且口口=口口,则点U的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.抛物线的一部分D.以上答案都不对【变式4-1】1.在五方钵口口口口-口口口中,点P在侧面及其边界上运动，并且总保持1口口1,则动点P的轨迹是（）A.线段B.逐口口1c.Aa中点与中点连成的线段D.。

12、中点与a中点连成的线段【变式4-12.如图所示，三棱锥Z7Z7O的底面在平面。内，且7/71OD,平面口口口1口口口,氤口，口,2是定点，则动点，的轨迹是A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点【变式4-1】3.如图所示，四棱锥-。口。的底面为正方形，侧面S0为等边三角形，且侧面OS_1.底面SS,点。在正方形。7。内运动，且满足口口,则点。在正方形。7。内的轨迹一定是（）MB【变式4-1】4.四棱柱ODOD-Iaa的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱。&的中点,口口、=2,口口=1,若点O在侧面包括其边界）上运动，且总保持S1口口,则动点O的轨迹是（）【变式4-15.

13、四棱锥口口口口氐面为正方形,侧面ODO为等边三角形，且侧面口口口工底面口口口口，点年底面正方形运动,且满足。O=则点。在正方形内的轨迹一定是（）【变式4-16.如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，侬中中点，P点在侧面OCD内及其边界上运动,并且总是保持31.则动点口的轨迹与ASU组成的相关图形最有可有是图中的（）A.C.类型2求轨迹长度【例题4-2设正方饰-的棱长为,口,为别为口口的中点,点。在正方体的表面上运动，且满足1.,则下列命题：点可以是棱的中点；点。的轨迹是菱形；点。轨迹的长度为2+5；点Ufi勺轨迹所围成图形的面积为日其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4【变式4-21.

14、已知直三棱柱4&4的所有棱长均为4,空间内的点G带足口口1口口1,且OQI口口1.则满足条件的次斤形成曲线的轨迹的长度为.【变式4-2】2.已知正方体口口口14的棱长为1,E为CD的中点，且点P在四边形口。4。1内部及其边界上运动，并且总是保持。/平面,则动点P的轨迹长度为；在上述条件下，若总是保持Qa,则动点P的轨迹长度为【变式4-23.如图，在棱长为2的正方体口口口中,棱口口的中点,口与口口相交于彘口，口底面口口口口（含边界）的动点,总有&Z71O11,则动点。的轨迹的长度为（）【变式4-24.如图，在棱长为1正方依口口口口一口1口口中，班棱OZ布中点，动点。在侧面Oa4及其边界上运动总有口口上口1口则动点。的轨迹的长度为（）A.B.当C.D.”22162【变式4-25.如图，正方惨口口口口-的棱长为3,点。在棱Aat,且满足口口=200,动点。在正方体表面上运动，且口口1口口一则动点o的轨迹的周长为（）