2023-2024学年人教A版必修第二册 8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学案.docx

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1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积新课程标准解读核心素养1 .知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式直观想象2 .能用公式解决简单的实际问题数学运算G知识梳理读教材D-基础落实高效学习此情境导入.在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体.这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体.问题你会求上述几何体的表面积及体积吗？R新知初探,知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形区圆柱I表面积和体积5an：=211r（r）”是底面半径，/是母线长）；VBl柱=11r2h（r是底面半径,是高）提醒圆柱、圆椎、圆台的关系：侧面积公式间的关系，S

2、Ie往例=2t*SiS台例=Ttr0O-(rrr)IMWM=11r:体积公式间的关系上底1上底I1融画驾主S，=SS=0V=ShV=(5,+SiS+5)hv=5.知识点二球的表面积和体积公式1 .球的表面积公式S=(R为球的半径).2 .球的体积公式Y=抑3回做一做1 .一个高为2的圆柱，底面周长为211.则该圆柱的表面积为,体积为.解析：由底面周长为211可得底面半径为1.S底=211=2兀，Sm=211ri=411,所以S&=SfiS5=2011,故所求几何体的体积为10兀C.311DG3解析：D设圆锥的母线长为/,高为h,底面半径r=l,则h=J/2r2=3,所以V=11r2z=*XAx

3、JJ=苧I故选题型三球的表面积与体积例3（1）一平面截一球得到直径为25Cm的圆面，cm,则该球的体积是（）A.l211cm3B.3611cm3由2兀Xl=兀/得/=2,所以球心到这个平面的距离是2C.64611cm3D.l0811cmA.B.争2.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）(2)半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为()A.100B.400C.10011D.40011解析(1)设球心为。，截面圆心为01,连接0。，如图所示，在RSoaA中，。凶=V5cm,00=2cm,，球的半径H=OA=

4、J22J(5)=3cm,；球的体积V=33=3611c11故选b设大金属球的半径为r,则亨乂23乂125=亨，=10,其表面积为4-=400兀故选D.答案(I)B(2)D通性通法因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.Gf跟踪训练1.若两球的表面积之差为48兀，它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为.4tiR24*2=48,即/?+r=6,(R+r)(Rr)=12,整理，得j7?r=2,解得y=%故两球的体积之差的绝对S+r=6,(R+t=6,G=2.值为4-,X23=11(4323)=等兀.答案：争2.长、宽、高分别为2,3,通的长

5、方体的外接球的表面积为.解析：该长方体的体对角线长为,22+(5)(5)=25,设外接球的半径为上：.2R=2瓜R=5,S球=411R2=1211.答案：1211但随堂检测.1.球的体积是安，则此球的表面积是（A.1211B.1611解析：B设球的半径为R,3=y11,.R=2,JS球=411W=1611.2 .若圆锥的底面半径为1,高为5,则圆锥的表面积为（）A.11B.211C.311D.411解析：C设圆锥的母线长为/,M=3TT=2,所以圆锥的表面积为S=11XlX（12）=311.3 .已知圆台的体积为711,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为（）A.3B.4C.5D.6解析

6、：A设圆台的高为心由题意知V=3（12+1X2+22）z=711,故h=3.4 .我国南北朝著名数学家祖咂提出了祖昭原理：“幕势即同，则积不容异”.即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.在数学上运用祖晒原理推导球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为.解析：圆柱的体积V=11R2R=11R圆锥的体积V2=tR所以所求的几何体的体积为V-V2=113-3=.答案：1111=维微虑探究空间几何体上两点间路径最短问题计算空间几何体上两点间路径

7、最短问题时，一般转化为平面几何方法求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为宜”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.类型1旋转体表面上两点间的最短路径问题【例1】(1)如图，圆柱的高为2,底面周长为16,四边形AcDE为该圆柱的轴截面,点B为半圆弧的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为()S：BA.217B.25C.3D.2(2)如图，圆锥的母线AB长为2,底面圆的半径为心若一只蚂蚁从圆锥的点3出发,沿表面爬到AC的中点。处，则其爬行的最短路线长为石，则圆锥的底面圆的半径为()A.lB.23C.3D,-解析(1)圆柱的侧面展开图如图所示，由

8、题得AC=2,BC=16=4,所以AB=4j22+42=25.所以在此圆柱的侧面上,从A到8的路径中，最短路径的长度为2遍.故选B.E,AE(2)如图为半圆锥的侧面展开图，连接BD,则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为,根据题意得8G=I,AD1=1,AB=2i在AB2+ADl=BD所以nOA8=,所以扇形弧长=X2=兀，所以圆锥底面圆的周长为2=211,即211r=211,得r=l.故选A.答案(I)B(2)A类型二多面体表面上两点间的最短问题【例2】如图，长、宽、高分别为3,2,1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点G，则它爬行的最短路程是.解析根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图.结合长方体的三种展开图，求得AG的长分别是3,26,25,所以最小值是3.故小虫爬行的最短路程是32.答案32口跟踪训练1.在直三棱柱A8C-A8G中，A41=3,AB=BC=,AC=2,E是棱8以上的一点，则44CE的周长的最小值为（）A.TT3B.TT+23C.1113D.1114解析：C由题意得4C=5=I1.将三棱柱的侧面5CG5展开至平面