2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示6-3-3 平面向量加、减运算的坐标表示 学案.docx

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1、6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示新课程标准解读核心素养1 .借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示数学抽象2 .会用坐标表示平面向量的加、减运算数学运算G知识梳理读教材口-基础落实高效学习蛇情境导入.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G,下滑力为尸1,木块对斜面的压力为尸2.问题这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？g新知初探.知识点一平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示（1）向量的坐标表示基底分别取与X轴、轴方向相同的两个侬向国一向

2、斌坐标向量=+.有序数对叫做向城的坐标向坐表量标示TQ=G.),=(1.0).J=(0.1).0=(0.0,（2）向量坐标与点的坐标的关系在直角坐标平面中，以原点O为起点作方5=,设65=xi+W,则向量力?的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来，终点A的坐标(X,y)也就是向量褊的坐标.提醒(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x,y),a=(x,y);(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.知识点二平面向量坐标的加、减运算若Q=(X1，y),b=(及，”)，则：(l)+b=(XI+必yi+v2);。一b=(XI、，v

3、一丫2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；(2)向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A(x1,yi),则万5=(x,y),若A(XI,y),B(汹，2)，则48=(X2山y).结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.口做一做1.已知向量。=(3,2),b=(0,1),则向量+b=()A.(3,1)B.(3,3)C.(0,-2)D.(2,2)解析：A因为向量=(3,2),b=(0,1),所以+b=(3,1),故选A.2 .如图，在平面直角坐标系中，向量65=()C.(2,4)D.(-2,-4)解析：C因为O(0,0),

4、A(2,4),所以R=(2,4),故选C.3 .已知而=(1,2),A(3,4),则8点坐标是3=1,解y-4=2,得卜3点的坐标是(4,6).Iy=6.答案：(4,6)题型突破析典例口-技法归纳活学活用题型一平面向量的坐标表示例1（1）如图，设与X轴、），轴同向的两个单位向量分别为i,j,取亿j作为基底，分别用3J表示向量而，OB,福,并求出向量而，OB,四的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，0A=4,A8=3,ZAoX=45。，/。AB=IO5,0A=a,布=A求向量。，力的坐标.解(1)由题图可知，三=6+2,0F=2i+4/,A=-4=30o,又OC=A

5、B=3,：.C(-,),22.AB=OC=(-,),即力=(-,).2222通性通法求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；(2)在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.M跟踪训练如图所示，在边长为1的正方形ABCz)中，AB与R轴正半轴成30。角.求点B和点。的坐标以及向量疝与前的坐标.解：由题意及题图知8,O分别是30。角，120。角的终边与单位圆的交点.设8(沏，y),D(及，/2),由三角函数的定义，得Xl=CoS30=苧，yi=sin30o=,M=COSI20=”

6、=sin120=在2，：.B喙1),D(-1,又A(0,0),.9.AB(,：),AD=(一).2222题型二平面向量的坐标运算【例2】(1)设i,/是平面直角坐标系内分别与X轴、y轴方向相同的两个单位向量,且65=4i+4,OF=34/,OC=ABf则C点的坐标为()A.(-2,1)B.(1,-2)C. (2,-1)D. (-1,2)(2)若荏=(3,4),A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为()A.(1,3)B.(5,5)C.(1,5)D.(5,4)(3)若荏=(1,1),AD=(0,1),FC+CD=(mb),则+b=.解析(1)由题意可知荏=砺一五?=一，+.瓦=而，而=T+4,

7、.C(-1,2).故选D.(2)设B(x,y),.N点的坐标为(-2,1),：.AB=(x+2,y+l).又：而=(3,4),f+2=3,解得F=I，即b点的坐标为(1,3).故选A.Iy+1=4,Iy=3,(3)e：BC+CD=BD=AD-AB=(-1,0)=(,b),/.=-l,b=0,：.a+b=-1.答案(1)D(2)A(3)-1通性通法平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算;(3)向量的坐标运笄可类比数的运算进行.口跟踪训练在。ABCQ中，AC为一条对角线，

8、若荏=(2,4),AC=(1,3),求前的坐标.解：前=而+而，：.AD=AC-AB=(-1,-1),：.BD=AD-AB=(-3,一5).题型三忸面向量坐标运算的应用【例3】已知点A(2,3),B(5,4),AC=(5z,7z)(2R).若Q=而+前,试求丸为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点尸在第三象限内.解设点尸的坐标为(x,y),则而=(x,y)(2,3)=(X2,3),AB+AC=(5,4)-(2,3)+(52,74)=(3,1)+(5A,72)=(3+5九1+71).tAP=AB-ACi且而与彳？不共线，J-2=3+5,则卜=5+5九(y-3=l+7,Iy=4+

9、7Z若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5/1=4+7九(2)若点P在第三象限内，则I+SylV”.jv-.Ia母题探究(变设问)若本例条件不变，点P在坐标轴上，求2的值.AnJ11&AG=5+5九解：由题意知Iy=4+7A,(1)当点P在X轴上时，y=4+72=0,A=-(2)当点P在)，轴上时，x=55=0,=-1.通性通法坐标形式下向量相等的条件及应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等；(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.Cf跟踪训练在直角坐标系XS，中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).(1)若9=四+而，求

10、点尸的坐标；(2)若谈+而+玩=0,求0?的坐标.解：(1)因为而=(1,2),AC=(2,1),所以而=(1,2)+(2,1)=(3,3),即点P的坐标为(3,3).(2)设点尸的坐标为(x,y),因为同+而+左=0,又近+而+玩=(l-,l-y)+(2-,3y)+(3-,2y)=(6-3x,6-3y),所以63=解得F=2，163y=O,Iy=2,所以点P的坐标为(2,2),故毋=(2,2).随堂检测.1 .已知费=(-2,4),则下列说法正确的是()A.A点的坐标是(一2,4)B.8点的坐标是(一2,4)C.当B是原点时，A点的坐标是(一2,4)D.当A是原点时，8点的坐标是(一2,4)

11、解析：D由题意，向量近=(2,4)与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是(一2,4),故A错误；同理8点的坐标不一定是(一2,4),故B错误；当3是原点时，A点的坐标是(2,-4),故C错误；当A是原点时，3点的坐标是(一2,4),故D正确.故选D.2 .已知向量=(2,4),+b=(3,2),则Q()A.(1,一2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)解析：Ab=a+ba=(3,2)一(2,4)=(1,-2).3 .已知近=(3,1),AC=(-4,-3),则由=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)解析：ABC=AC-AB=(一4,一3)(3,1)=(一7,-4),故选A.4.已知点A(2,1),B(-2,3),O为坐标原点，且布=就，则点C的坐标为.解析：设Ca,y),则近=(x2,y-3),OA=(2,1).由R=近，得X=0,y=4.故点。的坐标为(0,4).答案：(0,4)