特色题型专练06 最值问题-四边形（解析版）（江苏专用）.docx

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1、中考特色题型专练之最值问题四边形I一四边形I1.将军饮马（最小值）2.中位线最值三=3.两动一定I4.两定一定长1卜.两点最值I题型一、将军饮马（最小值）1 .如图，菱形ABCQ中，NBAZ）=60。,M是A8的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是1.则AB长为（）A.2B.1C.23D.3【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，连接BD,PD,MD,由菱形的性质得到AB=Ar,AC垂直平分8。，PD=PB,故当P、。、M三点共线时，PM+PD最小，即此时PM+PB最小,则DM=B证明&ZHD是等边三角形,得到DMJ

2、.AB,NAC）M=30。,求出AM=立。M=I,则AB=2A=2.3【详解】解：如图所示，连接BDPD,MD,由菱形的性质可得AB=ArAC垂直平分80,：.PD=PBPM+PB=PM+PD,工当P、D、M三点共线时，PM+ED最小,即此时HW+依最小，DM=6YNBW=60。，二84。是等边三角形，TM是AB的中点，：DMJ.AB,ZAzW=30。，/7AM=XoM=1,3：,AB=IAM=2,故选；A.2.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点。是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，连接/%,PQ,则-PBQ周长的最小值是（）A.5B.6+1C.8D.5+l【答案】D【分析】本题考查了

3、正方形的对称性，线段和最小，勾股定理，根据正方形性质，得到点B与点Z）是对称点，连接。Q，交ACr点P,此时，尸8。周长最小，结合边长为2的止方形ABC。中，点。是BC的中点，得到BQ=QC=g8C=l,BC=CO=2,/88=90。，根据勾股定理计算即可.【详解】.I边长为2的正方形48CD中，点。是BC的中点，BQ=QC=gBC=l,BC=8=2,8Co=90。，点B与点。是对称点，连接DQ,交ACf点P,此时8Q周长最小，：,DQ=yCQ2+CD2=5JJBQ周长的最小值是尸B+PQ+BQ=QQ+BQ=4+1,故选D.3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=r2+2x+3的图象与X轴交

4、于点A,B,与），轴交于点C,点P在线段BC上，则尸A+尸。的最小值是一.AqBX【答案】5【分析】先求出C(0,3),8(3,0),A(TO),过点B、C分别作X轴、y轴的垂线，两线交于点7,连接尸丁，证明四边形是正方形，旦7(3,3),即有点。与点T关于直线BC对称，则有R4+PO=+PT,当A、P、T三点共线时+P最小，即E4+尸O最小，最小值为AT,问题随之得解.【详解】解：在y=-+2x+3中，当X=O时，y=3, C(0,3), OC=3；当，=0时，一f+2x+3=0,解得：再=T,占=3, 6(3,0),A(-l,0),O8=3,OA=I;过点8、C分别作X轴、y轴的垂线，两线

5、交于点丁，连接尸丁，如图，.,.CTA-OC.BT1.OB, OB1.OC,OB=OC=3, 四边形087C是正方形，且T(3,3), 点。与点厂关于在线BC对称，PO=PT,.,.PA+PO=PA+PT,当A、尸、T三点共线时+P最小，即尸A+PO最小，最小值为AT,VA(-1,O),7(3,3),:；点E为A”的中点，点F为G的中点，：.EF=-AG;2当G与。重合时，AG最长且为4J,此时M=2J:当G与M重合时，AG最短且为2J,此时EF=6：JE/的最大值与最小值的差为2J-6=6故答案为：75.【点出】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理.连接AG利用

6、三角形中位线定理是关键.4.如图，在菱形ABCO中，AB=8,/8=45。，E,尸分别是过CO,BC上的动点，连接AE,EF,G,”分别为AE,石尸的中点，连接G”，则GH的最小值为【答案】22【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知G=A/，求出A尸的最小值，当AF_1.BC时，根报闻线段最短，即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示：四边形ABCO是菱形，：AB=BC=8VG,分别为AE,E尸的中点，JGH是AAEF的中位线，：.GH=-AF,2当APJ1.BC时，AF最小，G”得到最小值,则ZAF=90,VZB=45,ZA8尸是等腰直角三角形，：,AF=A=-8=42.22：GH

7、=2&，即G的最小值为2五，【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.题型三、两动一定1 .已知矩形ABCQ中A6=6,NABO=60o,M,N分别是BDAo上的动点，则A+MV的最小值为（A.6B.6+65C.9D.12【答案】C【分析】作点A关于80的对称点4,交80卜点。，连接AM,AN,A。，先根据轴对称的性质可行AM=AM,从而可得A+MN=AM+MN,再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当AN_1.AD时,AW取得最小值,AM+MV取得最小值，然后根据含30。角的直角三角形的性

8、质、矩形的性质求解即可得.【详解】解：如图，作点A关于8。的对称点4,交80于点0,连接AM,AMAD,由轴对称的性质得：AM=AM,A,O=AO,AABD,.AM+MN=A,M+MN,由两点之间线段最短得：当点A,M,N共线时，AM+MN取最小值，最小值为AN,由垂线段最短得：当AN_1.AD时，4N取得最小值，在矩形ABa）中，AB=6,NABO=60。，：ZADB=30,BD=2,AB=12AZ)=JbD2-AB2=63在RtAOz)中，AO=-AD=33,DO=yAD2-AO2=9,2.AA=AO+A,O=2AO=6/又Sa.ad=-ADAfN=-AA,DO,22arAAQO6尺9qAD63故AM+MN的最小值为9.故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，利用两点之间线段最短和乖线段最短得出当ANJ_A。时，4N取得最小值是解题关I.2.如上图所示，矩形A8CO,A8=6,BC=6出,点E是边A。上的一个动点，点尸是对角