相似三角形培优难题集锦(含答-案).docx

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1、G是EF中点，连接点出lm/sCB向点到的函数一、相似三角形中的动点问题1 .如图，在RtAABC中,ZACB=90o,AC=3,BC=4,过点B作射线BBIIlAC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHAB于H,过点E作EFAC交射线BBl于F,DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；当小DEG与AACB相似时，求t的值.2 .如图,在AABC中,ZABC=90o,AB=6m,BC=8m,动点P以2ms的速度从A发,沿AC向点C移C动.同时，动点Q以“N的速度从

2、C点出发，沿点B移动.当其中有一/尸)达终点时，它们都停止动设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时，求ACPQ的面积；求ACPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)解析式;(2)在P,Q移动的过程中，当ACPQ为等腰三角形时,求出t的值.3 .如图1,在RtZiABC中，NACB=90。,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，分CDB交边BC于点EMBD,垂足为M,ENCD,垂足为N.当AD=CD时，求证：DEIIAC；探究：AD为何值时，BME与CNE相似？(1)当X为何值时，PQIIBC?(2)AAPQ与ACQB能否相似？假设能，求出AP的长；假设不能说明理由.5 .如图，在矩形ABC

3、D中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cms的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以lcms的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(三)表示移动的时间(0tjlI向A点运动，当P/加xd点到达B点时，QADM1.点随之停止运4气r动.设运动的时间为X.10.,如图，直线y=-2x与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象一个矩形ABCD,使得矩形边之比为1:2oD两点的坐标。限做的两求C、三、构造相似辅助线一一A、X字型11 .如图：ABC中，上一点，AD=AC,BC中线AE交CD于F。ABCFACDF12 .四边形ABCD中,AB.AD的比例中项,AC为且ACD

4、是AB边上的求证：平分NDAB0的四个顶点分别在上。证：ITl1ABCDEF.19.,在ABC中作内形CDEF,设菱形的边接菱长为ABC求BE_BC2求证：DBCDa.求证：AC4Ca.五、相似之共线线段的比例问题13 .在梯形ABCD中，ABIICD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点，EFIIAB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：DE_I+DE,o一(1)当五r时，EF=2:当石=2时，EF=3；DE-2Q+36DB.当愈时，EF=4.当时，参照上述研究结论，请你猜测用a、b和k表示EF的般结论，并给出证明.14 .：如图，在AABC中，M是AC的中点，E

5、、F是BC上的两点，且BE=EF=FC。求BN：NQ：QM.20.(1)如图1,点尸在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S交股8于点T.求证：,PFj(2)如图2,图3,/?C当点P在平行四边形上/ABCD的对角线6Q或/N%的延长线上时，/IVPQPRHpSPT是否仍然gAkr成立？假设成立，试给出证7Vf明；假设不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；15 .证明：(1)重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的之.(注：重心是三角形三条中线的交点)(2)角平分线定理：三角形个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两

6、邻边对应成比例.中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CFIIAB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP2=PEPF.22.如图，ΔABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。求证：DE2=EGEH23.如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD,BC、CD的延长线、AB的延长线分四、相似类定值问题16 .如图，在等边AABC中，M、N分别是边AB,AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.1证：CEBFAB.17 .：如图，梯形ABCD中，AB/

7、DC,对角线AC、BD交于过0作EF/AB分别交AD、于E、Fo1.-1.-J-求证：ABCD-EO.18 .如图，在AABC中，CD为边AB上的高，正方形EFGH别相交于点E、F、G、H.求证:PEPHPFPG24.,如图，锐角AABCADBC于D,H为垂心形三条高线的交点)；在有一点P,且NBPC为直角.求证：PD2=ADDHo六、相似之等积式类型综合25.如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。求证：ACCF=BCDF26如图，在RtZkABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHJ_BM且与AC的延长线交于点E.求证：(1)AEDCBM；(2

8、)AECMACCD27 .如图,ABC是直角三角形，NACB=90o,CDAB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：cFN=FBFC.(2)假设G是/xBC的中点，连接,V5GD,GD与EF垂直f/吗？并说明理由.28 .如图，四边形ABCDDEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证：ANDN=CNMN.图131.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四形，点R为DE的点，BR分别交AC、边中CD于点P、Q(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP：PQ：QR.DG_1.BC于G,分别交CE及B

9、A的延长线于F、Ho求证：(1)DG2=BGCG；(2)BGCG=GFGH七、相似根本应用30.ABC和乙DEF是等腰直角三角形，ZA=ZD=90o,DEF点E位于边BC的中点(1)如图1,设DE模型两个的顶上.与ABDFAC于F。求证：AEACafab答案：1.答案：解：(1),/ZACB=90o,AC=3,BC=40/.AB=S0X,.AD=AB,AD=St0/.t=l,此时CE=3,0/.DE=3+3-5=lII交于点M,EF与AC交于点N,求证：BEM-CNE；(2)如图2,将ADEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能

10、否再找出一对相似三角形并证明你的结论.0(2)29.如图，BD、CE分别是AABC的两边上的高，过D作32.如图，在AABC中，AD_1.BC于D,DE_1.AB于E,3团如图当点D在点E左侧，即：0t2时，DE=3t+3-5t=3-2t.田假设DEG与AACB相似，有两种情况：DEEG团DEGSACB,此;时ACCB,3-N230BP：3-4,求得：t=4；DEEG团DEGSBCA,此时BCCA,3-二21BP：43,求得：t=6；团如图，当点D在点E右侧,即：t2l,DE=5t-(3t+3)=2t-3.何假设DEG与4ACB相似，有两种情况：DEEG团DEGSACB,此时ACCB,-329

11、团即：3一公，求得：t=4；DEEG0(4)DEGSBCA,此时BCCA,-3_2170BP：4-3,求得：t=6.212IZ团综上，t的值为4或6或4或6.3 .答案:解：证明：AD=CD0/.ZA=ZACD0.DE平分/CDB交边BC于点E0/.ZCDE=ZBDE0.ZCDB为CDB的一个外角0/.ZCDB=ZA+ZACD=2ZACD0,.ZCDB=ZCDE+ZBDE=2ZCDE0/.ZACD=ZCDE0/.DEIIAC0(2)NNCE=ZMBE0.EMBD,ENCD,.BMESCNE,如图0.,ZNCE=ZMBE0/.BD=CD团又ZNCE+ZACD=ZMBE+ZA=900/.ZACD=

12、ZA.AD=CD10.AD=BD=2AB团.在RtAABC中，ZACB=90%AC=6,BC=80/.AB=IO0/.AD=S团NNCE=ZMEB0*.EMBD,ENCD,0/.BMESENC,如图0.,ZNCE=ZMEB0/.EMIICD0/.CDAB团.在RtAABC中，JACB=90,AC=6,BC=80/.AB=IO0,.ZA=ZA,ZADC=ZACB0/.ACDSABCADAC团.ACAB0/.AB10518国练上：AD=SWc5时，ABME与ACNE相似.4 .答案:解11）由题意:AP=4,CQ=3x,AQ=3O-3x,05AP_AQ4x30-3XSI当PQllBC时，ABAC,即：2010X=El解得：340团（2）能，AP=9Cm或AP=20cmAPAQAx30-3K=-=团APQsCBQ,那么CBCQ,即203x团解得：x=5或X=-IO（舍）团此时：AP=20cmAPAQ4彳30-3彳=团APQsCQB,那么CQCB,即3x10X=团解得：9（符合题意）40团此时：AP=9Cm40EI故AP=