直线与椭圆位置关系及焦点三角形等题型大全(教师版).docx

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1、椭圆的有关题型大全(教师版)一、直线与椭圆位置关系：1.点与椭圆的位置关系或者IABI=(x1-2)*23*+(y1-y2)2b2xo点Pa0,泡在椭圆WW=内部的充要条件是毛+耳；在椭圆外部的充要条件是aba-b-OTT022VFv+,X17送7r(JA1164V-妇时，直线1.r-y+3=O与椭圆工+E=1相交4164当二16(16公-5)=0即Z=好或Z=-壮5时，直线Ax-y+3=0与椭圆三十3=1相切44164当A=16(16-5)0即一好%好时，直线七v-y+3=0与椭圆二+亡=1相离4416422例题2、假设直线y=Ax+l伏R)与椭圆二+二1恒有公共点，求实数机的取值范围5m解

2、法一:y=kx+1由，X2y2.可得(542+w)x2+IOArx+5-5m=0,.=小一5攵210即帆5Z?+i1+=1,5m解法二：直线恒过一定点(0,1)当机5时，椭圆焦点在X轴上，短半轴长b=际,要使直线与椭圆恒有交点那么而1即1mV5当机5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长Q二6可保证直线与椭圆恒有交点即机5综述：in1Jlzw5解法三：直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(Oj)在椭圆内部t+1.i即机5m评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联

3、立，消去y或工得到关于X或y的一元二次方程，那么(1)直线与椭圆相交。()(2)直线与椭圆相切OA=O(3)直线与椭圆相离=0)过点(0,4),离心率为1.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为W的直线被。所截线段的中点坐标.解：(1)将(0,4)代入C的方程得黄=1.b=4./.R2-z.2Q1Z1.Qr2.,2又由e=G=W得*=5?即-U=E=5C的方程为行+讳=1.44(2)过点(3,0)且斜率番的直线方程为y=0-3),设直线与C的交点为A(XI,y)f8(X2,”)，将直线方程产资一3)代入C的方程，得去十25=1，即x2-3l8=0,6-5二、椭圆焦点三角形的周长、面积

4、公式的应用:定理在椭圆二+=13。0)中，焦点分别为A、F2,点P是椭圆上任ab意一点，ZFxPF2=O9那么SA印”=tang.证明：记IPKl=KlPF?|二弓，由椭圆的第一定义得在aHPF2中，由余弦定理得：2+2-2r1r,cos=(2c)2.配方得：(+r2)2-2rlr2-2rlr2cos4c2.即4tz2-2(l+cos9)=4c2.由任意三角形的面积公式得：.八Zsin-COS-SMPF=rrsin=Z?2=Zj22_-_2_=F.代212l+cosbQ)中，公式仍然成立.ab例题讲解:例1假设P是椭圆盖+*=l上的一点，Fn工是其焦点，且/6产工=60。，求解法一：在椭圆工+

5、”=1中,10064=1(),=8,c=6,而。=60.记PF=rpPF2=r2.点P在椭圆上,二由椭圆的第一定义得：r1+=2=20.在PF2中，由余弦定理得：r12+r22-2r1r,cos=(2c)2.配方，得：(r1+r2)2-3rlr2=144.400一342二144.从而r2=解法二：在椭圆+=1中，Z2=64,而。=60。.解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现!例2、FpF2是椭圆2-+今=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/AGB=45,求4从耳鸟的面解：F,F2=22,AFAF2=6,AF2=6-AFi例3：如图，椭圆后+吊=1的左、右焦点分别为尸I,F

6、2,一条直线/经过凡与椭圆交于A,B两点,假设直线/的倾斜角为45。，求4A8F2的面积.解：由椭圆的方程旅+=1知，=4,b=3,.*.c=ya2-h2=yl.由C=市知尸(一巾，O),F2(7,0),又直线/的斜率Z=tan450=l,二直线/的方程为-y+市=0.%y+7=0,设Aay),仇必，”)，那么由止+_消去X，整理得25产一18巾y-81=0.18581y+)j2=25，,Oj2=-25工伙1.y2=6。|+?)24y)D=SBF2=FiF2-2=272=7.例4、ZXABC的顶点8,C在椭圆,+j2=l上，顶点4是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么aABC的周长是()A.23B.6C.43D.12解析:选C由于AABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,8A+8f=2a=25,CA+Cfl=2a=23,便可求得的周长为4a=4l在椭圆上的充要条件是+=iCrb-2.直线与椭圆的位置关系.X2V2设直线/：Ar+约，+C=O,椭圆C-+=l,联立/与C,消去某一变量(X或)，)得到关于另一个变量a方的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为,那么/与C相离的OA5/与C相切OA且：/与C相交于不同两点=AQ.3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为