用构造法求数列的通项公式.docx

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1、用构造法求数列的通项公式农安实验中学赵彦春中心词：归纳，猜测，构造数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。例1；（06年福建高考题）数列勺冲,q=1,%+=2%+1则%=（）A.2,B.2+lC.2n-1D.211+l解：。用=2%+l.I+1-2又q+1=2氏+1an+1是首项为2公比为2的等比数列an+l=2211,=2,%=2-1,所以选C归纳总结：假设数列%满足Q

2、+=p%+夕（PWl均为常数），那么令%x+4=P（%+来构造等比数列，并利用对应项相等求4的值，求通项公式。例2：数列“中，=1,%=3,a+2=3%+-2“，那么二。解:勺+2-+1=2（。用一%）v2-a1=2.%a,-为首项为2公比也为2的等比数列。2Ji-I小结：先构造4-等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通项公式，当然此题也利用了等比数列求和公式。例3：（必修5教材69页）（3）求这个数列的通项公式。数列%中=5,%=2,%=2an,l+3n-2,解：%=2%+3%又4+%=7,4+a”7形成首项为7,公比为3的等比数列，那么6+1=7x3-2又%-3%T=TaZtT

3、-3”,)，2-3a1=-13,形成了一个首项为一13,公比为一1的等比数列那么%-34“=(-13)(-I)Ix3+4z,=73i+13(1)T小结：此题是两次构造等比数列，属于构造方面比拟级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。例4：(2008四川省高考题)设数列an的前项和为S”,若b%-2n=(b-)Stl成立，求证：当b=2时,an-几2h,是等比数列。证明：当=1力-2=(。一l)q,.=2又2=(O-I)S.力。Z2用=Sl)5z一hzj+-2=(b-)an+i当6=2时，有向=24+2”又为一2i=1卜一2为首项为1,公比为2的等比数列，小结：此题构造非常特殊，要注意恰当

4、的化简和提取公因式，此题集中表达了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。例5：数列j满足6=3,。.=2。+3-2向，那么%=A.(3-1)2B.(6n-3)2w-,C.3(211-1)2m+,D.(3-2)2解：.=24+32.=+3.一殳构成了一个首项这3,公差为3的等差数列，211J2an=22n,(3n-1)=(6n-3)2n,所以选B。小结：构造等比数列，注意形当+l时，变为詈。22例6：函数f(x)=(JI+I)2,(x(),又数列中q=2,其前项和为Sfl,(nwN*),对所有大于1的自然数都有5“=/(S,),求数列4的通项公式。解：/(x)=(+2

5、)2,Sn=f(Sn,l)=(瓦+2)2.底是首项为J,公差为行的等差数列。s7=2+(11-!)2=211,.sn=2n2o2时，an=Sn-5w_i=In2-2(-1)2=4-2且当=1时，q=2=4x12符合条件通项公式为%=4-2例7：(2006山东高考题)4=2,点在函数/(X)=/+%的图象上，其中=1,2,3,求数列/的通项公式。解：,./(x)=X2+2x又.(%,%x)在函数图象上lg(a,+1)是首项为Ig3公比为2的等比数列小结：前一个题构造出向为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造lg(+l)为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合

6、运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识,以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。例8：(2007天津高考题)数列%满足q=2,4川=而“+尤川+(2-；1)-2”，(N*)其中；10,求数列的通项公式方法指导：将条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求“的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。解：atl+l=an+,+(2-)2(nV*,20)%+1例9：数列。“中，假设q=2,1+3凡A.1916B.158C.53D.-4解：.。用1+3。an+lan1lJ+3又j是首项为！公差3的等差数列

7、。64-519-所以选Ar变式题型：数列%中，%=2,4+=%，求。二1+3。.Ian11+3。“3I11+3。JzN2an22an.-3)是首项为-公比为1的等比数列M22小结:%+=f(aj且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。参考文献中学教材全解五年高考，三年模拟专题攻略