数形结合让思维飞得更远 论文.docx

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1、数形结合，让思维飞得更远摘要：数形结合思想是数学学科最重要的思想方法之一，它将抽象的数学语言、数量关系与直观形象的图形、位置关系结合起来，使教学中的数学问题能够化难为易、化繁为简，从而有助于突破学生思维瓶颈，提高学生分析问题和解决问题的能力。O关键词：数形结合，数学问题，化难为易，化繁为简，激活思维引言：通过数与形的结合来弥补小学生抽象思维能力的不足，加深对抽象的数字运算和量之间等量关系的形象理解，有利于开启学生的思维，培养学生解决问题的能力。我一直致力于小学数学教育，深刻体会到教材在编排时，能根据小学生的年龄和思维的特点，将每个知识点的学习过程都配备了图形和实物，像钟表、线段示意图、平均分割

2、的圆面等等，都是遵循小学生的认知规律，巧妙运用数形结合的方法,以便小学生学的轻松，理解的透彻，使得小学生对一些难点问题，如时间的认识、数学应用题的解决、分数的认识和有关算理算法的理解与掌握等都能轻松过关，迎刃而解。“这种以形助数或以数解形的思想方法，使计算的算理直观化、复杂的问题简单化、抽象的问题形象化，从而优化解决问题的策略。人教版六年级数学上册第八单元数学广角数与形对于我而言印象非常深刻,在这个单元的教学过程中，更加体会到了数形结合方法对于小学生学习数学的重要性和必要性，现浅谈一下教学数与形这一节内容时的策略。1 .求连续自然数的和(1)问题：1+2+3+.+100=?这个问题的解决并不困

3、难，因为很多小学生都听老师讲过小高斯的故事，高斯是德国著名的大科学家，他最出名的故事就是在他10岁时，小学老师出了一道算术难题：计算1+2+3+100=?这下可难倒了刚学数学的小朋友们，他们按照题目的要求，正把数字一个一个地相加。可这时却传来了高斯的声音：“老师，我已经算好了!老师很吃惊，高斯解释道：因为1+100=很1,2+99=101,3+98=10149+52=101,50+51=101,而像这样等于101的组合一共有50组，所以答案很快就可以求出：10150=5050。聪明的小高斯的这种算法，综合运用了分组和加法转化为乘法的巧妙方法，X但这种算法也有不便的时候，如加数的个数为奇数个时，

4、当然这个问题还是能解决的。我在处理1+2+3+100=?时，尝试了数形结合的方法，用边长是1的小正方形面积为1个平方单位)表示数字1(下图中的红色正方形)，两个小正方形拼成的图形表示数字2(下图中的黄色长方形)，以此类推(如图1),其中在图1中,算式1、1+2、1+2+3、+2+3+4、1+2+3+4+5分别用相应的图形表示出来，图2则表示两个1+2+3+4+5所对应的图形拼合的过程，图3是拼合的结果，图3中的长方形的面积表示(1+2+3+4+5)+(1(1+2+3+4+5),即2(1+2+3+4+5),而长方形的面积是长(1+5)与宽5的积，即：52(1+2+3+4+5)=(1+5)5,所以

5、1+2+3+4+5=(1+5)=15o进一步推广到1+2+3+100=(1+100)x=5050,也可以拓展延伸到1+22n(n+l)+3+n=。图1O(2)结论：从1开始的连续自然数的和等于首尾两数的和与加数个数的积的一半。接下来，我把1+2+3+100分为两组，第一组是1+3+5+97+99；第二组为+4+6+98+100,即从1开始的连续奇数的和、从2开始的连续偶数的和。2 .求连续奇数的和(1)问题：1+3+5+.+97+99=?显然，这个问题用小高斯的分组和转化为乘的方法似乎可行，但计算过程和结果较烦，尤其是加数个数为奇数个或较多的时候。而数形结合的方法让我们豁然开朗，甚至能一口报出

6、结果。图4中的几个图形分别表示了数字1、3、5、7,而图5则表示1+3,22等于边长为2的正方形面积是2,图6表示1+3+5,等于边长为3的正方形面积是3,表示1+3+5+7,等于边长为4的正方形面积是4：结论：从1开始的连续奇数的和等于某个数的平方，这个数就是奇数加数的个数。显然，这种方法要比分组和转化为乘的方法要简单的多。求连续偶数的和3（1）问题：2+4+6+98+100=?这个问题当然也可以考虑用小高斯的做法，同样较烦，或者先提取2（逆用分配律）转化成连续自然数的和来求解，如果用数形结合的方法来解，会不会更简单呢？其中图8分别用图形表示了数字2、4、6、8；表示2+4,长方形的面积是2

7、X3,即2+4=23；（2个连续偶数相加）表示2+4+6,长方形的面积是3x4,即2+4+6=34;（3个连续偶数相加）表示2+4+6+8,长方形的面积是4x5,即2+4+6+8=45;（4个连续偶数相加）以此类推，2+4+6+8+10=56;（5个连续偶数相加）所以，2+4+6+8+98+100=50X51；（50个连续偶数相加）拓展延伸，2+4+6+2n=n（n+l）,（n个连续偶数相加）图8图9图10图11（2）结论：从2开始的连续偶数的和等于偶数的个数与比这个个数大1的数的积。就这样，我们巧用长方形（或正方形）的面积，轻松地解决了1+2+3+.+100?+3+5+.+97+99=?以及

8、2+4+6+98+100=?这三个问题，并且作了拓展延伸，同学们觉得学的轻松，理解的深刻，而且能运用自如，甚至能直接口答出一些较为复杂的算式的结果。所有这些都归功于数形结合的思想方法的巧妙运用。像上面这样运用数形结合的思想方法解决的问题还有很多很多，之后我和同学们一33333起挑战了1+2+3+4+5=?,当然这个问题挑战的难度较大，但是我们用数形结合的方法来探究，应该不是很难的，我和同学们一起构造了这样的图形。从图中我们可以看出:拓展延伸，l+2+34+5+.+n=至此，我和同学们的脸上都露出了胜利的微笑！同学们都给数形结合方法之巧妙而点赞，作为老师的我当然也无比的开心与自豪。三、数与形的结

9、合，妙解拓展题数形结合的思想方法对于小学生学习数学的重要性已毋庸置疑，在后面的数学学习222过程中的应用也是很广泛的，如数学拓展练习中的完全平方公式（a+b）=a+b+2ab,看上去似乎很难理解，但我们运用数形结合的方法来解决，就比较容易理解了大正方形的边长是（a+b）,面积当然就是（a+b）。把它分成四块，分别是边长为a的正方形、边长为b的正方形以及两个长宽为b、a的长方形，它们的面积依次是ab和abab,四个图形面积的和是a+b+2ab,所以有：（a+b）=a+b+2ab,多么令人满意的诠释！曾经记得初中数学中数形结合的应用更为广泛，举不胜举，其中有著名的勾股定理的证明方法，证明方法有上百

10、种之多，但它们的主要指导思想大多还是用数形结合中的面积法，有课本中的勾股圆方图，利用四个全等的直角三角形拼图，再利用面积关222系得出：直角三角形的两条直角边a、b与斜边c的关系是a+b=co在这里，我想用两个全等的直角三角形拼图，构成一个直角梯形，它的ab上底是a,下底为b,高为（a+b）,则它的面积是（a+b）x。同时，它是由两个全等的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼成将数与形有机地结合起来，作为小学生理解初中数学的知识也不觉得困难，这正是数形结合思想方法的优越性所在。要培养学生数形结合的思想方法，首先教师要切实掌握数形结合的思想方法，要刻苦钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形

11、结合思想方法渗透的各种因素，同时要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。数形结合思想方法包含以形助数和以数解形两个方面，在小学数学数与代数领域教学中，用得最多的是以形助数，我们应把数形结合思想方法渗透在教学中的每一个内容之中。因此，在数学教学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拨，学生往往茅塞顿开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性，体现了数形结合思想方法的优越性。小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确定位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，在六年级第二学

12、期学习的比例中,让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现只要是正比例关系的式子，画在坐标系中就是一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。这段话对数形结合的思想方法的诠释应该是恰到好处的。教学中，数和形在一定条件下是相互转化，相互渗透的，数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的感觉。参考文献1马雪芳：数形结合思想在小学数学教学中的应用，考试周刊2016年第82期。2蔡文婷：数形结合思想在小学数学教学当中的应用，读与写（教育教学刊）2017年第12期。