空间力系.ppt

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1、第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.1第4章 空 间 力 系 第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.2空间汇交力系空间汇交力系 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 空空 间间 力力 偶偶 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 重重 心心 习题集思考题习题集思考题本章内容本章内容第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.34.1 空间汇交力系空间汇交力系 若空间力系中各力的作用线汇交于一点，称为空间汇交力系。同平面任意若空间力系中各力的作用线汇交于一点，

2、称为空间汇交力系。同平面任意力系一样，我们需要在力在坐标轴上投影的基础之上来研究其合成和平衡问题。力系一样，我们需要在力在坐标轴上投影的基础之上来研究其合成和平衡问题。一、力在空间直角坐标轴上的投影及分解一、力在空间直角坐标轴上的投影及分解 1.力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 如图如图4.1(a)所示，若力所示，若力F与三个直角坐标轴的夹角分别为与三个直角坐标轴的夹角分别为、，则力，则力在各坐标轴上的投影可由力的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计在各坐标轴上的投影可由力的大小与该坐标轴的夹角余弦的乘积来计算，即算，即 coscoscosxyzFFFFFF(4.1)第第4章

3、章 空空 间间 力力 系系 4.4图图4.1 力力F的投影的投影 利用式利用式(4.1)计算投影的方法称为直接投影法。而若力计算投影的方法称为直接投影法。而若力F与坐标轴与坐标轴Ox和和Oy的的夹角夹角、不易确定时，可先将力不易确定时，可先将力F投影到投影到oxy平面上，得到一力在平面上的平面上，得到一力在平面上的投影量投影量Fxy，然后再将，然后再将Fxy投影到投影到x轴、轴、y轴上。如图轴上。如图4.1(b)所示，当已知所示，当已知、角时，力在坐标轴上的投影量可由下式计算：角时，力在坐标轴上的投影量可由下式计算：4.1 空间汇交力系空间汇交力系 sincossin sincos xyzFF

4、FFFF(4.2)第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.5由式由式(4.2)计算投影的方法又称为二次投影法。但需注意，由第计算投影的方法又称为二次投影法。但需注意，由第2章可知，章可知，力在坐标轴上的投影为一代数量，而力在一平面上的投影应为一矢量，这力在坐标轴上的投影为一代数量，而力在一平面上的投影应为一矢量，这是因为在平面上的投影量不能简单由坐标轴的正负来确定其方向。是因为在平面上的投影量不能简单由坐标轴的正负来确定其方向。一、力沿坐标轴的正交分解一、力沿坐标轴的正交分解 同力在坐标轴上的投影类似，可将力矢沿三个坐标轴方向分解为三个正同力在坐标轴上的投影类似，可将力矢沿三个坐标轴方向分解为

5、三个正交分力交分力Fx、Fy、Fz，如图，如图4.2所示，则有所示，则有4.1 空间汇交力系空间汇交力系 xyzFFFF图图4.2 力力F的正交分解的正交分解 由力在坐标轴上的投影和分解的形式可知，由力在坐标轴上的投影和分解的形式可知，其正交分力应与其在坐标轴上相应的投影值其正交分力应与其在坐标轴上相应的投影值有如下关系：有如下关系：xyzFFFxyzFiFjFk(4.3)第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.6 式中式中i、j、k分别为沿三个坐标轴分别为沿三个坐标轴x、y、z的单位矢量，则力矢的单位矢量，则力矢F沿直沿直角坐标轴的解析表达式为角坐标轴的解析表达式为 即力矢即力矢F可由在直角

6、坐标轴上的投影来表示。若已知力在坐标轴上的可由在直角坐标轴上的投影来表示。若已知力在坐标轴上的投影投影Fx、Fy、Fz，则力的大小和方向余弦可由下式确定：，则力的大小和方向余弦可由下式确定：4.1 空间汇交力系空间汇交力系 xyzFFFFijk(4.4)222cos,cos,cosxyzyxzFFFFFFFFFF(4.5)必须注意，由式必须注意，由式(4.5)只能确定力矢的大小和方向，不能确定其作用只能确定力矢的大小和方向，不能确定其作用线位置。而由力矢的三个分量可确定力的三要素。线位置。而由力矢的三个分量可确定力的三要素。第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.7二、空间汇交力系的合成与平衡

7、二、空间汇交力系的合成与平衡 1.空间汇交力系的合成空间汇交力系的合成 同平面汇交力系相同，空间汇交力系的合成方法亦有两种，即几何法同平面汇交力系相同，空间汇交力系的合成方法亦有两种，即几何法和解析法。但在用几何法合成时，由于所作出的力多边形不在同一平面内，和解析法。但在用几何法合成时，由于所作出的力多边形不在同一平面内，所以实际运用起来较困难，故一般不使用该方法。但由几何法可知，若有所以实际运用起来较困难，故一般不使用该方法。但由几何法可知，若有F1、F2、Fn组成一空间汇交力系，则力系的合力组成一空间汇交力系，则力系的合力FR应等于力系中各力应等于力系中各力的矢量和，即的矢量和，即 4.1

8、 空间汇交力系空间汇交力系 12RnLFFFFF(4.6)且合力且合力FR的作用线通过力系的汇交点。的作用线通过力系的汇交点。在解决空间力系实际问题时，一般采用解析法进行分析。由式在解决空间力系实际问题时，一般采用解析法进行分析。由式(4.4)可知，可知，力系中任一力力系中任一力Fi均可表示为均可表示为iixiyizFFFFijk(4.7a)第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.8将式将式4.7(a)代入代入(4.6)式中，得式中，得若合力若合力FR在各轴上的投影分别为在各轴上的投影分别为FRx、FRy、FRz，则，则4.1 空间汇交力系空间汇交力系 RxyzFFFFFijkRxRyRzxy

9、zFFFFFF(4.7)上式表明：合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上的上式表明：合力在某一轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。这就是空间的合力投影定理。投影的代数和。这就是空间的合力投影定理。由式由式(4.5)可知，合力的大小和方向可由下式确定：可知，合力的大小和方向可由下式确定：222222cos,cos,cosRRxRyRzxyzxyzRRRFFFFFFFFFFFFF(4.8)第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.9 式中式中、分别为合力分别为合力FR与与x、y、z三个直角坐标轴的夹角。因三个直角坐标轴的夹角。因为已知力系为一汇交力系，所以合力作用线一定通过汇

10、交点。为已知力系为一汇交力系，所以合力作用线一定通过汇交点。4.1 空间汇交力系空间汇交力系【例【例4.1】已知空间汇交力系的四个力中已知空间汇交力系的四个力中 (N)，(N)，(N)，合力，合力 (N)，求第四个力，求第四个力F4的大的大小和方向。小和方向。1608060Fijk27070 Fik3304050Fijk10010080RFijk解：设F4的解析表达式为 则由式(4.7)可知解得：即 4444xyzFFFFijk4607030100RxxxFFF(1)(2)(3)48040100RyyyFFF460705080RzzzFFF44480N60N0 xyzFFF，48060Fij第

11、第4章章 空空 间间 力力 系系 4.10所以，力F4的大小力F4的方向 其中、为第四个力F4与x、y、z三个坐标轴的夹角。4.1 空间汇交力系空间汇交力系 2248060100F-180cos36.87100o-160cos53.13100o-10cos90100o第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.11 2.空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系的平衡条件 由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力。由上述讨论可知，空间汇交力系同平面汇交力系一样，其合成结果亦为一合力。所以空间汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零，即所以空间汇交力系平衡的必要和充分条件是

12、力系的合力等于零，即 或可用解析式表示为或可用解析式表示为所以所以4.1 空间汇交力系空间汇交力系 R0FF(4.9)2220RxyzFFFF000 xyzFFF(4.10)上式表明，空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系中各力在三个上式表明，空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系中各力在三个坐标轴的每一坐标轴上的投影的代数和均等于零。式坐标轴的每一坐标轴上的投影的代数和均等于零。式(4.10)亦称为空间汇交力系亦称为空间汇交力系的平衡方程。的平衡方程。第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.12【例【例4.2】如图如图4.3所示简易三角架起重的装置，其中所示简易三角架起重的装置，其中

13、AB、AC、AD三杆的两端可视三杆的两端可视为球形铰链连接。三角架的三角为球形铰链连接。三角架的三角B、C、D构成一等边三角形，且每根杆均与地面构成一等边三角形，且每根杆均与地面成成 的倾角。已知起吊的重物重量为的倾角。已知起吊的重物重量为W=2kN，试求三根杆所受的压力。，试求三根杆所受的压力。4.1 空间汇交力系空间汇交力系 65图图4.3 三角架三角架解：由题意可知，AB、AC、AD三杆为二力杆，设三杆所受的压力分别为F1、F2、F3，且力系为一空间汇交力系。取节点A为研究对象，受力图如图4.3(b)所示，且建立如图所示坐标，可列出如下平衡方程：0 xF12cos cos30cos co

14、s300FFoo0yF 123cos sin30cos sin30cos0FFFoo0zF 123sinsinsin0FFFW(1)(2)(3)联立求解可得 将W=2kN、代入上式得 N1233sinWFFF6531232 107373sin3sin65WFFFo第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.13一、空间力系中力对点之矩的矢量表示一、空间力系中力对点之矩的矢量表示 对于平面力系，只需用一代数量即可表示出力对点之矩的全部要素，即大对于平面力系，只需用一代数量即可表示出力对点之矩的全部要素，即大小和转向，这是因为力矩的作用面是一固定平面。而在空间问题中研究力对点小和转向，这是因为力矩的作

15、用面是一固定平面。而在空间问题中研究力对点之矩时，不仅要考虑力矩的大小和方向，还要考虑力和矩心所在平面的方位。之矩时，不仅要考虑力矩的大小和方向，还要考虑力和矩心所在平面的方位。当该作用面的空间方位不同时，其对刚体的作用效果则完全不同。所以，在空当该作用面的空间方位不同时，其对刚体的作用效果则完全不同。所以，在空间问题中，力对点之矩是由力矩的大小、力矩在作用面内的转向及力矩作用面间问题中，力对点之矩是由力矩的大小、力矩在作用面内的转向及力矩作用面的方位这三个要素所决定的。而用一代数量是无法将这三要素表示出来的，故的方位这三个要素所决定的。而用一代数量是无法将这三要素表示出来的，故须用一矢量来表

16、示，将该矢量称为力矩矢。力须用一矢量来表示，将该矢量称为力矩矢。力F对点对点O之矩记作之矩记作M0(F)，如图，如图4.4所示，该力矩矢通过矩心所示，该力矩矢通过矩心O，且垂直于力矩作用面，且垂直于力矩作用面(即即OAB所在平面所在平面)，其，其方向可由右手螺旋法则确定：即右手四指与力方向可由右手螺旋法则确定：即右手四指与力F对点对点O之矩的转动方向一致，之矩的转动方向一致，则拇指所指方向就为力矩矢的方向。而力矩的大小为则拇指所指方向就为力矩矢的方向。而力矩的大小为 其中其中d为矩心为矩心O到力到力F作用线的垂直距离，作用线的垂直距离，OAB为三角形为三角形OAB的面积。的面积。若以若以r表示矩心表示矩心O到力到力F作用点作用点A的矢径的矢径(如图如图4.4所示所示)，则矢量，则矢量 的大的大小为小为 4.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩()2OOABFdAVMF()2OOABFdAVMFrF2OABAVrF第第4章章 空空 间间 力力 系系 4.144.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 且矢量且矢量 的方向也可由右手螺旋法则确定，由图的方向也可由右手螺