求排列组合问题的基本方法.docx

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1、求解排列组合问题的几种根本方法复习稳固1.分类计数原理（加法原理）完成一件事，有类方法，在第1类方法中有叫种不同的方法，在第2类方法中有吗种不同的方法，在第类方法中有叫种不同的方法,那么完成这件事共有：N=网+m2+?“种不同的方法.2 .分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有吗种不同的方法，,做第步有“种不同的方法，那么完成这件事共有：/V=w1m2x%种不同的方法.3 .分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排

2、列组合综合性问题的一般过程如下：1 .认真审题弄清要做什么事2 .怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3 .确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4 .解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例L由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最根本的方法,假设以元素分析为主，I;需先安排特殊元素,再处理其它元素.假设以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其2

3、不它位置。假设有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.勺不三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,那么节目的出场顺序有多少种？元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端ES?#C以L利jHHAA;ZXJKt口JJIHtlIHKJ4XiIjt4-tF*/1/典

4、刖1百刀UJ新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插加，共有多少排法?五.重排问题求塞策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法?允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为加种1 .某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2 .某8层大楼

5、一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法？Abcdefgha练说题h自颗靛转饰祠的钻瑜n-可编曝加射麻在圈质素中取出m个元素作圆形L臂录”非,每排Z在前排,丙在后排,共有多少排去女魂；鹿猫飕霆懦招率幅扬亨御胺味座位，现安排2N就座加定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球,共有多少不司的装法.解决排列组合混合问题,先选后排是最根本的指导思想.此法与相邻元素搠绑策略相似吗？绘习题：一个班有6名战士,其中

6、正副班长各1人现从中选4人完成四种木同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,那么不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。te：1二二11.方案展出10幅不同的画,其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2.5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运发动名额，分给7个班，每

7、班至少一个,有多少种分配方案？?东阳题相同的元素分成m份（n,m为正整数），每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插1入n彳视翁胡回献利务会篇隘篇篇蒯粒有多少装法？d.入+,，+,+卬（X）求这个方程组阂首叙数解的组数十一.正难那么反总体淘汰策略例IL从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？?蟀懒列娜善臀骊锄喊甲林晒瑾四唾迂嚼憾帙口搦受部中卷塞抄在一,酗的辅法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？除簿题成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以A：（

8、为均分的组榔8例骄微分成3组,一组5个队,其它两组4个队，有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，那么不同的安排方案种数为十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法三约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做舞询蹩4赞赢i珠缪g*必须工有男生又有女生，那么不同的选法共有2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘

9、3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10个座位，假设4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5

10、个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法3号盒4号盒5号盒金灯潇件比拟复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收编造黑不到的结果同寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿张别人的赏年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2,给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,那么不同的着色方法有种十六.分解与合成策略例16.30030能被多少个不同的偶数整除练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线-Bt解化慢咏排列组合问题的一种最根本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题例逢T恸侠麻微图典协卿

11、阿珊双胸避为媚吸我那喀悯明令他不耐同j列,木1醐选强春缪城螂季的问题都要用到越中解题策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解练涧龌施施加幽薛因的懒瘫海畸!形国威源曲獭线表示马路，从A走到十八.数字排序问题查字典策略例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？幺数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根1.L”据分类计数原理求出其总数。八J、门厂/。凡=，yjraITsC十九.树图策略例19.3人相互传球，由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中，那么不同的传球

12、方式有对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果幺一.，一一-Dr二，八，一一.一45)的不同坐法有多少种？二十.复杂分类问题表格策略例20.有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备,那么共有多少种不同的取法二平出汆性痞法螂铲满足的条件比拟多，无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法，j褊分寿帆劈栅解解唾绛暨血逸爨元素：一类元素可以重怎,另1类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.