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1、专题跟踪检测(七)子数列问题1 .已知小为等比数列,3,。2,的分别是下表第一、二、三行中的数,且内,。2,3中的任何两个数都不在下表的同一列,瓦为等差数列,其前八项和为S”,且卬=6326,第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列的),儿的通项公式;(2)若Czi=Ugbn,其中是高斯函数(表示不超过X的最大整数),如Ug2=0,lg98=1,求数列金的前100项和T,oo.解:(1)由题意知41=2,02=4,03=8,所以等比数列5“的公比q=2,an=a,l2n.设等差数列瓦的公差为d,则2=b3-2b=2db,7(-+岳)S7=-l-2-=7b4=7a3
2、所以d=8=力1+3,所以b=2,d=2,b11=2w.(2)由(1)知c=lg(2n)f则Too=c+c2+coo=lg21+lg4+lg6+lg81+lg10+-lg98lg100|3- 2数列为是等比数列,且叫=内,等+lg200=40451512=147.2 .已知数列是公差不为0的等差数列,=一。3,仇=4,数列儿的前项和为S.(1)求数列仇的通项公式;bn,w5,求c的前项和北.8小,6,解:(1)设数列斯的公差为dfd0t因为数列g是等比数列,所以bi=bb3t所以3滂=。同4,所以(+2t)2=(+3,所以。0+4/=0.因为dW0,所以+4d=0.又=菱,所以d=,又=,数列
3、瓦的公比q=2=工虫迫=T所以包=加尸(2)由(1)知。“=乂(一号I15-8+3fc-=1zT3TsO-3-2X 3-26,心当 1W5 时,T11=(、LH)=1-当 “26 时,Tn=-1)+(”5)(3+15-3)3,27927一落+2-32,K15,所以Tn=、一|+刍-箸,后6.(2)设 hn=S3=13, 曷=3。6,得671 +s + s= 13, 3d)2=3g5,(l+q+)=13,两式相除得 aq=3fl+q+才 133.(2023潍坊模拟)已知等比数列的前项和为S”,公比41,满足S3=13,点=3恁.(1)求小的通项公式;an,为奇数,2+为偶数,求数歹皿的前2项和人
4、解:(1)法一:因为”是公比ql的等比数列,所以由整理得3q2-10g+3=0,即(3q-l)(q-3)=0,解得夕=3或q=g.又ql,所以g=3,故3fl=l,所以为=。“一=3LLq法二:因为%是公比ql的等比数列,所以由S3= 13, 屈=3%叫1+2+3= 13,42。6 = 3恁,a +2+03= 13,。=3,+s= 10, =9,ld3=10,。1的=9,解得0 = 1, C 或。3 = 9i=9,、 GO=I (舍去),故L十九则q=3,所以a,l=aqni=3,1(2)当为奇数时,bn=afl=3,lf当为偶数时,bn=bn-n=y2-n,所以乃“=+b2+b3+b4+岳-
5、|+b2l=S+62,1)+32+04+岳)=(30+32+32112)+(30+2+32+4+32m2+2)132m2322+2)9M1=2(30+32+-+3211-2)+(2+4+2m)=2J+L-5+(+1).4.已知数列”的前项和为S,=3,且S+i=2S“+3.数列九满足=1,bn+二(l+Wr)weN)(1)求数列斯,儿的通项公式;(2)将数列仇中的项按从小到大的顺序依次插入数列”中,在任意的为,诙+1之间插入2攵一1项,从而构成一个新数列g,求数列6的前100项的和.解:(1)由已知得,当22时,有St+=2S,+3,Sn=2S+2,两式相减得a+=2a+l.又因为+s=2+4
6、,所以2=7=2+l,满足上式.所以小+1=2(0,+1).又m+l=4,所以小+1是以4为首项,2为公比的等比数列.所以。”+1=42厂|,即。=2+-1.又儿+=(1+五九瓦t,2-1所以瓦=茄二5九7(22),又6=1,所以当“22时,有6=1,岳=3,力3=?历,=3,,乩=?bll-,两边同时相乘可得,JJ2一3bb2b3bn-bn=l3二!创历636-i=(2-1)仇历V瓦-1,所以bn=2n-.(2)设100项中,来自于数列诙中的有机项.若第100项来自于斯,则应有m+2Xl-l+2X2-l+2(m-l)-l=100,整理可得,n2-11-99=0,该方程没有正整数解,不满足题意;若第100项来自于儿,则应有m+2Xl-l+2X2-l+2m-12100,整理可得,+加一io。?。当机=9时,有92+9IOo=-Io0不满足,当W=IO时,有IO2+IO-100=IOX),故相=10,所以数列c中含有10项数列“中的项,含有90项数列九中的项.所以c+cz+coo=+2卜o+S+而TFM=22-1+23-1+21,-11+3+5+290-=22+23+2i,-0+1+3+54(12,)90+-I79=.2-10y(l+179)=12182.