专题1.3直角三角形【八大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）.docx

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1、专题1.3直角三角形【八大题型】【北师大版】【题型1添加条件利用HL使三角形全等】1【题型2判断三角形全等的依据】4【题型3利用HL证明全等16【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段110【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】15【题型6利用HL解决坐标与图形问题】18【题型7写出某个命题的逆命题】26【题型8判断逆命题的真假】27【知识点1直角三角形全等的判定】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.【题型1添加条件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上北京海淀八年级校考期中）阅读下面材料：己知线段,h.求作：RtABC,

2、使得斜边8C=,一条直角边AC=b.作法：（1）作射线40、AE,且AEim（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C（3）以C为圆心，线段4长为半径作弧，交射线AD于点及（4）连接8C.则AABC就是所求作的三角形.上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（）Ia,bA. HLB. SASC. AASD. SSA【答案】A【分析】由作法可知，根据HL即可判定三角形全等.【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是HL.故选：A.【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关

3、键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了直角三角形全等的判定.【变式1-1（2023下广东佛山八年级校考阶段练习）如图，已知40LBC,若用HL判定三4C0,只需添加的一个条件是.【答案】ABAC【分析】根据题意可得，在480和4C。中，乙4。8=乙40C=90。，40为公共边，则只需要添加48=AC,即可根据HL判定全等.【详解】解：添加的条件为：AB=AC,：ADLBC,ADB=ADC=90,在Rt48。和RtACO中，（AB=ACUd=AD/.RtABD三RtACD（HL）,故答案为：AB=AC.【点睛】本题主要考查了根据HL判定三角

4、形全等，解题的关键是掌握一条直角边和一条斜边相等的两个直角三角形全等.【变式1-21（2023下山东青岛八年级统考期中）如图，己知点8,E,尸,C在同一一条直线上,BE=CF,ABA.AF,CDiDE,若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定448尸与ADCE全等，则添加的条件可以是_（写出一个条件即可）.【答案】AB=DCSiLAFB=乙OEC或KB=C【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可.【详解】解：8E=CF,BE+EF=CF+EF,即B尸=CE,ABLAF,CDIDE,A=D=90,，当AB=DC时，在Rt4BF和RtAOCE中，(BF=CEUf=DCRtABF三RtDCE

5、(HL);当乙力尸8=4。EC时，SABFfllDCE中，A=DUFB=乙DEC，BF=CE：XABFDCE(AAS),当上8=ZT时，在448尸和AOCE中，(A=ZD48=LC,Ibf=CE.ABF三DCE(AAS).故答案为：AB=CO或U尸8=4OEC或4B=Z.C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定.题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可.【变式1-3(2023下安徽宿州八年级统考期末)如图，CD148于点O,EF1AB于点F,CD=EF.要根据“HL”证明RtACD三RtBEF,则还需要添加的条件是()A.A=BB.乙C=乙DC.

6、AC=BED.AD=BF【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断.【详解】解：CD148于点。，EF1AB于点凡 乙ADC=乙BFE=90, CD=EF, 当添加4C=BE时,根据“HL”判断RtACD三RtBEF故选：C.【点睛】本题考杳了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.【题型2判断三角形全等的依据】【例2】（2023上福建泉州八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在己知乙4OB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M画OA的垂线，过点N画。8的垂线，两垂线交于点P,画射线0P.可以得到AOMPEAONP,所以乙IoP=乙BOP

7、,那么射线OP就是乙408的平分线.OMPWAONP的依据是A.SASB.ASAC.HLD.SSS【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定HL定理,可证OPM三OPN,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.【详解】由题意知。M=ON,乙OMP=乙ONP=90。,OP=0P,在RtOMP和RtONP中，（OM=ONIoP=OPRtOMP三RtONP（HL）,：乙AoP=乙BOP,故选：C.【变式2-1（2023上江苏南京八年级校联考期末）如图，已知4CLB0,垂足为。，AO=C0,AB=CD,则可得到ZkAOB三AC。，理由是（）A.HL

8、B.SASC.ASAD.AAS【答案】A【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可。【详解】解：:AClBD,A0B=C0D=90.在RTAoB和RTCOD中,（AO=COtAB=CD，：4AOB三COD（HL）故选4【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用判定两个三角形全等是解决此题的关键。【变式2-2（2023上河北邯郸八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂直,滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽EF相等，则4BC三rDE的依据是（）BCEFA. SSSB. SASC. AASD. HL【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，根据直角三角形全等

9、的判定方法解题即可.【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt448C和RtA0E中，（AB=FDyAC=EF,RtABC三RtFDF（HL）.故选：D.【变式2-3（2023下广东深圳八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有RtAABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个RtA夕C,使得RtAeC三Rt448C.小赵和小刘同学先画出了对这两种画法的描述中正确的是（）A.小赵同学作图判定RtA,B,C,的依据是HLB.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长C.小刘同学作图判定RtA,B,C,三RtABC的依据是ASAD.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是

10、线段AC的长【答案】A【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断.【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段8C=BC,第二步为作线段C=C4判定方法为HL：小刘第一步为截取线段94=B4,第二步为作线段8C=BC,判定方法为SAS.故选：A.【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键.【题型3利用HL证明全等】【例3】（2023四川泸州统考模拟预测）如图，AB=CD,DELAC,BFLACfE、是垂足，DE=BF,求证：ABF CDE.【答案】见解析【分析】求出乙。矶？=乙B凡4=90。，根据HL定理推出即可.【详解】证明：DE

11、_LAC,BFIAC,LDEC=乙BFA=90,在RtF和RtACOE中，(AB=DCIBF=DE.RtABF三RtCDE(HL).【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.【变式3-1(2023上福建厦门八年级统考期末)如图是RtABC,根据下列尺规作图痕迹作出的RtA1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的是()【分析】根据HL证明Rt/!$ClERt48C即可得解.【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边AICl=AC,A1B1=AB,A1B1C1=ABC=90,Rt,A1B

12、1C1三Rti4FC(HL),故选:B.【点睛】本题考杳了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.【变式32】(2023上河南驻马店八年级统考期中)学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等“，但下列两种情形还是成立的.(1)第一种情形(如图Q)在AABC和ADEF1中，ZC=ZF=90o,AC=DF,AB=DEf则根据,得出ZkABC三AOEF,并写出推理过程；(2)第二种情形(如图b)在AABC和AOE尸中，乙C=乙F(乙。和乙兄均为钝角)，AC=DF,AB=DE,求证：ABCwAOER(提示：分别过点A、点。

13、添加一条辅助线，构造全等)【答案】(DHL(斜边直角边)，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定.(1) “HL”定理只能用来证明两个直角三角形全等；(2)通过证明4CG三/)FH可得到4BG,ADEH中的一组直角边相等，再证明4BG三(HL),推出UlBG=乙DEH,可得结论.【详解】(1)解：HL(斜边直角边)，推理过程如下：乙C=Z.F=90, 4BC和AOEF都是直角三角形，在RtAABC和RtDE尸中，(AC=DF=DERti4C三RtDEF(HL);(2)证明：如图，过A作4G1BC,交BC的延长线于点G,过。点作0”1EF,交E尸的延长线于点H, ACG=乙DFH

14、, 在CG和AOFH中，AGC=乙DHF=90乙ACG=乙DFH,AC=DF：.AACG三ADFH(AAS),.AG=DH.ERtA8G和RtDEH中，(AB=DEUg=DHABGDEH(HL), Z.ABG=LDEH. 在力BC和AOE/中，(乙B=乙EACB=KDFE,(AB=DE：.4BC三DEF(AAS).【变式3-3(2023上山东聊城八年级校联考阶段练习)如图所示，已知AB=AC,AE=AF,A尸IB尸于凡B. 3对A. 4对【答案】AC. 2对D. 1对AEIEC于E,则图中全等的三角形共有()【分析】根据题意，结合图形有力EC三2i4FB,三GOBWAHOC,4EG三4尸共四组.【详解】解：力_1。于AF1BF-FzE=ZF=90* ：AB=ACfAE=AF.AEC三4F(HL);，乙ABH=乙ACG,AB=AC* *Zj4=LAABH三ZkACG(ASA);：.AG=AH：.BG=CHt.*ABH=乙ACG,乙GOB=乙H