20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（教师版）.docx

《20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（教师版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（教师版）.docx（41页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、专题20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法：由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等;第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。模型L“母子”模型（共边角模型）【模型

2、解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图1图2图3图4例1.（2022贵州贵阳中考真题）如图，在国二!中，辟耳!边上的点，I刁I,IFI，则目一与目1的周长比是（）a.IWIB-国C.国D.目【答案】B【分析】先证明0A三45G即有冈，则可得司，问题得解.【详解】00=0ACD,0A=0A,00ACDaSL4C,P*1,S,EH,丘冈，励ADC与0AC8的周长比1:2,故选：B.回回【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定

3、与性质，证明三48C是解答本题的关键.例2.（2022春江苏九年级专题练习）如图，在RtA8C中，0AC8=9O。，点。在AB上，至(1)求证0ACD三48C;(2)若40=3,BD=2,求Co的长.【答案】（1）见解析；（2）国【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出IFI（2）由171得I田一I,IF推Hg1，由相似三角形的性质得冈，即可求出8的长.【详解】（1）e H, I，H【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C,。在线段AB上，APCO是等边三角形，且N4

4、P8=120。，求证:（1）ACPsApdb,（2）CD2=AOBD.证明：（1）TZkPCO是等边三角形，：,/PCD=NPDC=/CPD=6,：.ZACP=ZPDB=20o,VZAPB=120o,Z4PC+ZBPD=60o,VZCP+Z4PC=60o/.NBPD=ZCAPt：.AACPsAPDB;（2）由（1）得AACPsapdB, Y ZXPCO是等边三角形,例4. （2023,湖南统考中考真题）,求I 7I的长.（1）证明：IT（2）若写【答案】见解析啊【分析】（1）根据三角形高的定义得出IF-1,根据等角的余角相等，得制FI，结合公共角771I,即可得证；（2）根据（1）的结论，利用

5、相似三角形的性质即可求解.是斜边耳上的高.I,国.又田冈【详解】（1）证明：瓦国，又响【点睛】本题考行了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.例5.（2023.浙江中考模拟）如图，在口ABC中，0ACB=9Oo,CD0AB.IY（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长:（3）在（2）的情况下，如果以AB为X轴，CD为y轴，点D为坐标原点0,建立直角坐标系（如图2）,若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点

6、即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P,国件件目使以点B、P、Q为顶点的三角形与团ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3,DaboOxcd,OabozQcbd,acdizcbd:(2)3；(3)存在，IXIIXIXII【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为:目ABc三1ACD,mABe三CBD,0ACD三CBD.（2）先在团ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据团ABC的面积不变得到住BCD=住JBC,即可求出CD的长.（3）由于团B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与0ABC相似时，分两种情况进行讨论：团P

7、QB团团ACB：(2)0QPB00ACB.【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：团ABC瓯ACD,0ABC三CBD,0ACD00CBD.证明：团CD团AB,SEADC=回ACB=90,又00A=团A,00ADa30ACB同理可证：0ABCE0CBD,ACDECBD.故答案为：3：0ABC00ACD,0ABC00CBD,0ACD00CBD.=LHl(2)如图2中，在团ABC中，00ACB=9Oo,AB=5,AC=4,BBC=团团ABC的面秽I=佳BCD=佳CBC,BlCD=|囚=仲（3）存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与mABC相似，理由如下:在团BOC中，（三COB=90

8、,BC=3,OC=目，（30B=件分两种情况：当团BQP=90时，如图2，此时（3PQB（三ACB,恒I=EjBl冈解得t=J即冈在团BPQ中，由勾股定理，得当团BPQ=90时，如图2，此时回QPB(三ACB,E3,E,1可在回BPE中，,回点P的坐标为I目,综上可得，点P的坐标为（【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.例6.（2022陕西汉中九年级期末）如图，回1是等腰直角三G斗边TF的中线,以点耶J顶点的耳二!绕点耶转，角的两边分别与国、国的延长线相交，交点分别为

9、点已与耳与耳交于点Q，目与国交于点寺且IG-1.如图1,若IW-1,求证:臼I；如图2,于F-!,求证:丘I：如图2,过日作回卜尸点若I-gI，I71求I司I的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析:【分析】（1）由题意可得团8CCHMC=45。，BBCE=ACF=90,从而可得SDCE=OOCF=I35。，于是可证得，则有DE=DF；（2）结合（1）可求得由COF+0F=45。从而可得M=KDEt则目利用相似三角形的性质即可求解；（3）由。G08C,SAC氏90。，0CD=0ACD=45o,结合（2）可求得CE=2，从而可求得CG=OG行，可证得,从而可求得GNFil再利用勾股定理即

10、可求得。M(1)证明三三4C8=90,AC=BC,CP是中线,BCZ)=SACD=45o,0BCE=0ACF=90o,02DCE=HDCF=135团在团。CE与团。C尸中,0DE=DF；(2)证明团SODCE=0DCF=135o00CDF+QF=18Oo-135o=45o,00CDF+QCDE=45o,SBF=OCDE,.P11(3)解：如图，0DG0fiC,0AC=9Oo,0CD=0ACD=45o,DGN=ECN=90o,0GCD=0CDG=45o,CG=DG可得，咨痼,在/?他。CG中，国【点睹】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟

11、记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键.例7.（2023浙江,九年级期末）（1）如图1,在国二!中，邦目上一点，IFl求证：I刁I.（2）如图2,在I习!中,11l力上一点,连接I冈1已知I皆LIFI，I冈I.求证:I/-l（3）如图3,四边形目一|内接于=1与相交于点星已知送勺半径为2,IT|,直【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 巨II |求四边形耳二的面积.【分析】（1）由I化比例，与I,I，可汨W hf可1即可;（2）由IF|,可得IEAD=BC,根据线段比值计算IWI冈EAC=0C4B,可证丘广j1即可;（3）连接后!交五于点与连接与1，根据IFhE1,可得AC=E,根据线

12、段比值计算可得*1,由团AAC=SEA8,可证与Z三J,可证0A8Q=SAD从可得BF=DF,根据勾股定理OF=Q3可求I囚可证I*1-|，I臼|，可得SABCD=国即可.【详解】（1）证明：如图1,司FI，回回，又回百I，dFI，3FL,AD=BCf（2）证明：如图2,ElT1F向四I，I回I，I回I，引,00EAC=0CAB,HmMqI即区I（3）解：如图3,连接OA交回于点与 连接耳，（可 l叵，AC=2Af,f8=0AC3, BMBd=SAOB,回点A是弧目的中点，BD为弦,OA为半径，目可 BF=DF,BBF=DF= 国在Aa08产中,根据勾股定理OT M，LJlsbcd=sbce+

13、sdce.【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键.例8.（2022春广东深圳九年级校考期中）【基础巩固】,求证:（1）如图1,在四边形三f1中,对角线耳平分国二回【尝试应用】（2）如图2,四边形耳二为平行四边形，中耳边上，IVI，点学导延长线上,连结耳，耳，耳彳若IF,=p-l三j-l求目的长；【拓展提高】（3）如图3,在IF卜l,11F司I上一点,连结I冈I,点y11/别在丘p,IFl上,连结I,1,国，目，若I目I，IlIpglIHI，I冈,求FJ的值【答案】（1）见解析；

14、（2）国；（3）件【分析】（I）据角平分线的定义及相似三角形的判定可知I刁I，再根据相似三角形的性质即可解答：（2）据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知臼I，再根据相似三角形的性质即可解答;（3）据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知IF|,再根据相似三角形的性质即可解答.详解（）证明：瓦五平分与二eIF1，旧Zl可三1dW,百冈1；（2）解：团四边形耳二!为平行四边形，F|,I。卜百刁I，回（3）过点作.I交厂FiI的延长线于点国WlI,百日L?1日I，回可I，【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.课后专项训练AO112023成都市九年级期中）如图,矩形ABO中尸是OC上一点，BFlAC,垂足为E方=,CM的面积为Si,ZAEB的面积为52,则占的值等于（）1 B.-51 A. 16SzD.1251C.一44D1【解答】解：,一=一，；.设AD=8C=q,则A8=CD=2,.AC=5cr,AB2:BFLAC,：Ac