19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（教师版）.docx

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1、专题19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8OO字模型.A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型字模型【模型解读与图示】AZBCBA图1D字模型条件：如图1,2）反字模型条件：如图23）同向双“4”字模型条件：如图3,EF/BC-,结论：4上iCBDC图2图3DE/

2、BC；结论：AOEs2XA8CACDC，ZAE.DZB；结论：AOESacb=八二一人之一“：.ACbZCEGFGAGAEFABC,AEGABD,AGF圆EBFAFCFAFBFCFm*tDE AE 10=一BC AC 3解：由(1)得I司I,CGDE,国CE=CD=6.AE=3,AC=AE+CE=9.I3DE/BC,国.ADEABC.(3)解：如图，延长GE交AB于点M,连接历W,作MN_LBC,垂足为/.在|司HLBO=DO.ZABC=ZADC=45o.EGBD,田由(1)得ME=GE,FAf = FG = IO飞NEFM=/EFG.回N石G/=40。，QINfMr=40。，0ZEFG=5O

3、o.团尸G平分NE尸C,国NEFG=NCFG=50。,田NBFM=I80。-NEFMNEFGNCFG=30。.0.在.RFMN中,MN=FMsin30=5,FN=FMcos30o=53.用NMBN=45。,MN工BN,中BN=MN=5,BF=BN+FN=5+56.【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.例5.（2023安庆一模）如图，在AABC中，点。、E、产分别在边8C、AB.CA,KDECA,DF/AB.（1）若点。是边BC的中点，且BE=CF,求证：D

4、E=DR（2）若LBC于O,且BD=CD,求证：四边形Aa尸是菱形；（3）若AE=Ar=1,求工+-L的值.ABAC【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是AABC的中位线，进而可得。E=尸G同理可得。尸=BE即可解答；（2）根据已知易证四边形AEQ尸是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得NB4O=NCAO,然后利用平行线的性质可得ED4=NCAO,从而可得N84O=NED4,进而可得EA=EQ,即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知aBEOSZXBAGCDCBA,从而可得迈AC=竺_,DF=CDt然后把两个式子相加进行计算，即可解答.BCABBC【解答】（1

5、）证明：Y点。是边BC的中点，DE/CAt点E是A8的中点，,OE是aABC的中位线，：.DE=AC,2Y点。是边BC的中点，广AB,点产是AC的中点，/.FC=-AC,：.DE=FC同理可得：DF=BE,YBE=FC,工DE=DR2（2）证明：.DECA,DF/AB,工四边形AEZ）尸是平行四边形，*：ADLBC,Bo=CO,JAo是BC的垂直平分线，：.AB=AC,JNBA。=/。!。，tDEAC,：.ZEDA=ZCAD,BAD=NEDA,：.EA=ED,上四边形AED尸是菱形；(3),JDECA.J-ZEDB=ZC,VZfi=ZB,:.abedsabac,.典=世，,dfab,：/b=/

6、fdc,ACBCVZC=ZC,：ACDFsACBA,.迈=型,.迈十亚=世+型=BDyD=匕ABBCACABBCBCBC四边形AEQ厂是平行四边形，：.DE=AFiDF=AE,VAE=AF=LADE=DF=L,-L+-L=l,，-L+-L的值为1.ABACABAC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键.模型2.X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图4条件：如图1, AB/CD；结论:AOBcri11X-XK./-/X-X2）反“8”字模型条件：如图2.,NA=NZ）:结论tAoBSDOC万万=石.3）平行双“8”字模型Kta-AAEBEAB条件：如图3,AB/CD；结论：=DFCFCD4）斜双“bJJ【点睛】本题主要考杳正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.例2.（2023黑龙江哈尔滨九年