第05讲解三角形拓展与应用（春季讲义）（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx

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1、第05讲解三角形拓展与应用【人教A版2019】模块导航 模块一解三角形综合问题 模块二测量问题 模块三课后作业模块一卜解三角形综合问题基础知识1 .解三角形中的重要模型中线模型(1)中线长定理：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD是BC边上的中线，则AB+AC2=2(BD2+AD2).(2)向量法：AD2=1(Z2c2+2bccosA).2 .解三角形中的重要模型一一倍角模型B=2Ab1=aCa+C)C=2Bc2=Kb+a),这样的三角形称为“倍角三角形A=2Ca2=c(c+b)西、入abc.ac推论1：A=2B=b=sin28SinBsin382cos3-4sinB推论2：

2、A=2-=1+2cosAZ?+c=2cosB.b3 .解三角形中的重要模型一角平分线模型角平分线张角定理：如图，初为C平分线，则c-斗与+学4 .三角形中的最值（范围）问题的解题策略：（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）.（2）“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识

3、求其最值.考点剖析【考点11【例1.1（22-23高一下黑龙江绥化阶段练习）设AABC的内角4、8、C所对的边分别为Q、b、c,若QCoSA=bcosB=ccosC,则48C的形状是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边比为1：2：3的三角形【解题思路】由正弦定理可得4=B或A+B=去8=C或BC=j,利用三角形的性质验证得A=B=C,可得结论.【解答过程】因为cos4=bcosB,由正弦定理可得sim4cosA=SinBcosB,即sin2A=sin28,因为力，B为三角形的内角，所以24=28或24+28=n,即4=B或力+B=%同理可得B=C或8+C=3当4=8时，8+C

4、=B不可能成立（三内角和不等于n）,当A+8=T时，8+C=T也不可能成立,所以只有4=B=C,即AABC为等边三角形.故选：B.【例1.2（22-23高一下甘肃天水阶段练习）在AABC中，若siM%siM8+siMc,则ABC的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解题思路】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可.【解答过程】设AABC中，角48,。对应的边分别是。,瓦。,由正弦定理得:SiMASin2F+sin2C=2b2+C2,即+c2a20,所以SSA=空V，因为4（0,）,所以A为钝角，即力BC为钝角三角形.故选:C.【变式1.1(22-23高一下

5、辽宁鞍山阶段练习)在4BC中，若cosA=bcosB,贝必48C为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【解题思路】由正弦定理及倍角公式得到sin24=sin2B,结合4,8(0,),解得A=B或A+B=；,得到答案.【解答过程】czcoSi4=bcosB由正弦定理得SirL4cosA=SinBcosB,yp-sin24=-sin2B,故sin24=sin2B,22因为48(0,n),且属于三角形内角，所以A+B=解得AC=烂.故选：C.【变式2.1（23-24高三上.重庆沙坪坝.阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图I甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将

6、悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30。，45,60,90。，120。，150。等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了A48O（如图乙），测得48=3,80=4,4C=AO=2,若点C恰好在边8。上，请帮忙计算SinNACQ的值（）【解题思路】先根据三条边求出CoS乙4DB,利用平方关系得到Sin乙408,即可根据等腰三角形求解.【解答过程】由题意，在BO中，由余弦定理可得，cosADB=ad2b2=VTT=2ADBD2X2X416

7、因为NAOB（O,r）,所以sin,ADB=Vlcos2r4OB=Jl一62=啜,在?!CD中，由AC=AD=2得Sin乙4C。=snADB=若，故选：C.【变式2.2X22-23高二上重庆沙坪坝期末）如图，教室里悬挂着日光灯管48,AB=120cm,灯线4C=BD,将灯管48绕着过AB中点。的铅垂线00,顺时针旋转60。至4,且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高【解题思路】设48与。，交于点N,过点4作AMIAC于M,连接MN,在AAMN中求出4M,在RtA,MC中根据勾股定理求解.【解答过程】设4B与。交于点N,过点A作HMj.AC于M,连接MN,如图所示，则CM=AC-20,4MN中，

8、A,N=AB=60,MN=60/ANM=600,所以AM=60,在RtZiAMC中，由勾【考点3证明三角形中的恒等式或不等式】【例3.1(2023全国模拟预测)在中，A0,结合taa4为整数，通过假设法，得到tad的值，也就确定了角A大小.(2)首先利用角8和角C和的正切展开式，确定角8和角C满足的等式，再结合tan8,tanC均为整数，确定tanB,tanC的值，最后利用解三角形知识证明即可.【解答过程】(1)因为AVBVC,所以4为锐角，则taM0,若tan42,Vtan=3,且y=tan在()内单调递增，又为BC,：.B,C都大于g,与4+B+C=Tr矛盾,tan=11即A=4(2)证明

9、：力=三，B+C=亚,tan(B+C)=tan=1.444又 tan(8 + C) =tanF+tanC1-tanFtanC即tan8tanC-1=tan8+tanC.由tanB,tanC均为整数，且BVC,tan4=1,得tanB=1+nc2,tanC3tanC-1可得tanB=2,tanC=3,则SinB=;cosC=,sinC=5io,io设角A,B,。所对的边分别为小b,cf由正弦定理三二一三二一号，sin-sn0SinC可得b=平,c=竿Q又AC的中点为D,CD=誓.在ABCD中，由余弦定理，得BD2=2+(早)Za半acosC=a2,.BD=a,即证BC=BD.【例3.2（22-2

10、3高三上重庆渝中阶段练习）已知在锐角AABC中，tan =SinFl+cosfi(1)证明：8=24(2)求tan-tanll+tantanB的取值范围.【解题思路】（1）化简题干条件得到Sin4=sin（B-4）,从而根据48C是锐角三角形，得到力=8-4,得到B=2A；（2）先根据锐角三角形得到4（士力，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到等M=tan64/l+tantanB停。【解答过程】（1）证明：由tam4=W=严知：cos/l1+COSBSilvl（I+cosB）=SinBcosA,即sin/+SinACoSB=SinBcosAf所以Sirh4=SinBcosA-SinAco

11、sB=Sin（B-A）,因为4BC是锐角三角形，所以4（Q,B-Ay=SinX在（一H）上单调递增,所以A=8-A,即B=2A(2)由锐角力BC知：A(),8=2A(),C=A-B=Tr-3A(0弓),解得：4WeW),ittI7三=tan(B-A)=tan4(f,1).【变式3.1(23-24高三上.江苏开学考试)如图，在AABC内任取一点P,直线AABRCP分别与边8C、CA.AB相交于点。、E、F.(1)试证明:BD_48Sin-ZMODCACsinDAC(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3,求AABC的面积.【解题思路】(1)利用正弦定理及角的互补关系即可证结论;(2)由题意4。,81,。尸为中线,可得依=?，。0=?，8=1/=%。=2,PF=1,再由定+而=ZPD.PA+PB=2PF,PC+PA=2PE,求CoSN8PC,cos乙4P8,cosnAPC,进而求对应正弦值，结合5-叱=S&bpc+Smpb+Spc及三角形面积公式求面积