分类加法计数原理和分布乘法原理 中等(教师版).docx

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1、分类加法计数原理和分布乘法原理中等目录考点一:基本计数原理1题型一、分布加法原理1题型二、分布乘法原理2题型三、基本计数原理的综合运用3课后综合巩固练习4考点一:基本计数原理加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有类办法,在第一类办法中有町种不同的方法,在第二类办法中有吗种方法,在第类办法中有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N=小+ZH2+叫种不同的方法,又称加法原理.乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成个子步骤,做第一个步骤有网种不同的方法,做第二个步骤有叫种不同方法,做第个步骤有风,种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1gXw“种不同的方法.又称乘法原理.加法原理与乘法原理的

2、综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.题型一、分布加法原理1 .用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()A.3B.5C.9D.12【分析】用列举法求解.【解答】解:用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,有以下几类办法:用2张10元钱支付:用1

3、张10元钱和2张5元钱支付;用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付;用1张10元钱和10张1元钱支付;用1张5元钱和15张1元钱支付:用2张5元钱和10张1元钱支付;用3张5元钱和5张1元钱支付:用4张5元钱支付;用20张1元钱支付.故共有9种方法.故选:C【点评】本题考查不同的付款方式共有多少种的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.2 .一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中取出一本,则不同的取法共有()A.3种B.1848种C.37种D.6种【分析】分情况讨论:选择拿语文书:有12种不同的拿法,数学书有14种不同的拿法,英语书有H种不同的

4、拿法,然后把这三种情况的数量加在一起即可.【解答】解:由题意可知选择拿语文书:有12种不同的拿法,数学书有14种不同的拿法,英语书有11种不同的拿法,共有:12+14+11=37.故选:C.【点评】本题先确定拿哪种类型的书,考查分类计数原理的应用,考查两种原理的区别.3 .已知集合M=1,-2,3,N=Y,5,6,-7),从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点()A.18个B.10个C.16个D.14个【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质,分2种情况讨论,取M中的数作横坐标,取N中的数作纵坐标坐标,取N中的数作横坐标,取M中的数作纵坐

5、标坐标,易得每种情况下的数目,进而由加法原理可得答案.【解答】解:第三、四象限内点的纵坐标为负值,横坐标无限制;分2种情况讨论,取M中的数作横坐标,取N中的数作纵坐标坐标,有3x2=6种情况,取N中的数作横坐标,取M中的数作纵坐标坐标,有4x1=4种情况;共有6+4=10种情况,故选:B.【点评】本题考查分类计数原理的运用,解题的切入点为四个象限的点的坐标的性质.题型二、分布乘法原理1.设函数满足:对于任意大于3的正整数,/(n)=n-3,且当旗3时,2期()3,则不同的函数F(X)的个数为().1B.3C.6D.8【分析】通过/()=-3,结合映射的定义,根据2颔()3,确定函数的个数.【解

6、答】解:43,2期()3,./(1)=2或3,且f(2)=2或3且/(3)=2或3.根据分步计数原理,可得共222=8个不同的函数.故选:D.【点评】本题主要考查映射的定义,以及分步计数原理的应用,比较基础.2 .将一枚骰子向桌面先后抛掷2次,一共有()种不同结果.A.6B.12C.36D.216【分析】由分步计数原理知有6x6种结果,问题得以解决【解答】解:由分步计数原理知有6x6=36种结果故选:C.【点评】本题考查了分步计数原理,属于基础题3 .古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克

7、的两种物质不相邻,则这样的排列方法有多少种(结果用数字表示).()A.5B.10C.20D.120【分析】由题意,可看作五个位置排列五种事物,由分步原理求解即可,本题需要考虑的因素:相克的两种物质不相邻,注意满足此规则,计算符合条件的排列方法种数【解答】解:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5x2x1ll=10故选:B.【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”

8、学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详,本题以实际问题为背景,有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势题型三、基本计数原理的综合运用1 .将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种植方法种数是()A.420B.180C.64D.25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法,8有4种涂法,讨论A,O同色和异色,根据乘法原理可得结论.【解答】解:由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法,8有4种涂法,,。不同色,。有3种

9、,C有2种涂法,有5x4x3x2=120种,A,。同色,。有4种涂法,C有3种涂法,有5x4x3=60种,.共有180种不同的涂色方案.故选:B.【点评】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用,注意分析图形中区域相邻的情况.2 .5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为(用数字作答).【分析】先排不在排头的这个学生,方法有4种,其他学生任意排,有A:种,根据分步计数原理,求得结果.【解答】解:先排不在排头的这个学生,方法有4种,其他学生任意排,有A:种,根据分步计数原理,所有的排列方法共有4.A:=96种,故答案为:96.【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,注意特殊元素优先排

10、列,属于基础题.3.己知集合M1,-2,3,Ne-4,5,6,-7(,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,求这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数.【分析】本题首先分类在每一类中又分步,M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标,N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,分别可以得到在第一和第二象限中点的个数,根据分类加法原理得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个分类和分步的综合问题,M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标,在第一象限的点共有2x2个,在第二象限的点共有1x2个.N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,在第一象限的点共有2x2个

11、,在第二象限的点共有2x2个.所求不同的点的个数是2x2+1x2+2x2+2x2=14(个).【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理,是一个综合题目,首先分类,每类方法并不都是一步完成的,必须在分类后又分步,综合利用两个原理解决.课后综合巩固练习1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有()种.8B.15C.18D.30【分析】本题是一个分类计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法来证明,有3种方法,根据分类计数原理知共有3+5=8种结果.【解

12、答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法来证明,有3种方法,根据分类计数原理知共有3+5=8种结果,故选:A.【点评】本题看出分类计数问题,本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法,看出每一种方法所包含的基本事件数,相加得到结果.2.将一张面值1元的人民币全部换成面值1角,2角和5角的硬币,则换法总数为一.【分析】设1角硬币有枚,2角硬币有),枚,5角硬币有Z枚,构造三元一次方程,然后利用列举法得到所有可能的情况,可得答案.【解答】解:设1角硬币有4枚,2角硬币有),枚,5角硬币有Z枚贝IJX+2y+5z=10满足方

13、程的解有:x=10*y=0,z=0X=8,y=1,z=0x=6y=2fz=0x=4,y=3,z=0x=2,y=4,z=0x=0,y=5z=0x=5,y=0,z=lx=0,y=0,z=2x=3y=1,z=lX=1y=2,z=l共十种不同情况故答案为:10【点评】解决此类问题要用列举法,把所有的情况都一一排查,找出问题的答案.3 .乘积(al+a2+3)(+)(c1+c2+c3c4cs)展开后共有项.【分析】根据多项式的乘法法则,分析易得在(+%+/)中取一项有3种取法,在他+打+4+2)中取一项有4种取法,在(q+g+Q+Q+5)中取一项有5种取法,进而由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根

14、据多项式的乘法法则,(4+。2+%)他+4+/+4)(9+。2+。3+。4+%)的结果中每一项都必须是在(a1+a2+a3)(4+d+4+&)、(q+G+。3+。4+G)三个式子中任取一项后相乘,得到的式子,而在(4+a2+ai)中有3种取法,在(4+劣+)中有4种取法,在(c+c2c3c4+c5)中有5种取法,由乘法原理,可得共有3x4x5=60种情况,则(q+a203)(+b2+)(cl+c2+c3+c4+c5)的展开式中有60项;故答案为60.【点评】本题考查分步计数原理的运用,是常见的题目;平时要多加训练.4 .在6x6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行、每一

15、列都只有一辆车,每辆车占一格,共有一种停放方法.(用数字作答)【分析】利用分步计数原理,第一步先选车,第二种再排列,问题得以解决【解答】解:第一步先选车有C;种,第二步因为每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,从中选取一辆车后,把这辆车所在的行列全划掉,依次进行,则有c:Cc;Cc;C=可种,根据分步计数原理得;C;耳=14400种.故答案为:14400.【点评】本题考查了分步计数原理的应用,关键是如何求出每辆车所在行列的可能性5 .对于各数互不相等的正数数组I;,,匕)5是不小于2的正整数),如果在PVg时有i.ig,则称H,与是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组(,/,4,%,火)的“顺序数”是4,则(%,

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