二次函数之角度问题解析.docx

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1、二次函数之角度问题【牛刀小试】如图，抛物线y=-圣2+从+。与X轴交于力(,3,0),3两点，与J，轴交于点C(0,33),连接力C,BC.抛物线的对称轴交X轴于点E.图图图(1)求抛物线的解析式；(2)如图，已知R是y轴上一点，连接4R,若力火平分NO4C,求点R的坐标；(3)如图，已知点G是抛物线上一点，连接CG,若NGCB=NABC,求点G的坐标；【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点R作Ro_L4C于点O,设点R(0,r),利用角平分线的性质得到Ro=Ro=厂，RC=OC-OR=33-r,再利用相似三角形的判定与性质得到关于r的方程，解方程即可得出结论；(3)配方法求得抛物线

2、的解析式，利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：当点G在直线BC的上方时，CG/AB,利用对称性解答即可；当点G在直线BC的下方时，设CG交X轴于点T,利用直角三角形的边角关系定理求得线段OT的长度，再利用待定系数法求得直线CT的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论；【解答】解：(1)Y抛物线y=-品=bx+c与X轴交于力(-3,0),与y轴交于点C(0,33),-93b+c=0(C=33(.23解得：D=丁，c=33，抛物线的解析式为尸一等/+竽X+33;(2)令X=0,则y=35,C(0,33),AOC=3.过点A作RZ)L4C于点0,如图,设点R(O,r),HR平分NC40,

3、ROLAE,RDLAC,：RD=RO=r,：RC=OC-O=33-r.VZCD=ZJOC=90o,ZRCD=ZACo,:,丛CDRSXCOA,.CRDR*ACAO*：A(-3,0),AOJ=3.,.AC=0A2OC2=6.3?-T_r*63,解得：r=3,：R(0,3);(3) *y=+X33=(X-3)2+43,，抛物线的对称轴为直线x=3,当点G在直线8C的上方时，如图，,:ZGCB=ZABc,：.CG/AB, 点G与点C关于直线x=3对称,VC(0,33),：.G(6,33);当点G在直线8。的下方时，如图,设CG交X轴于点T,(-3,0),抛物线的对称轴为直线x=3,：B(9,0),M

4、CBA=需=噜4,ZC=30o. ：NGCB=NABc, NTC8=NC84=30.VZOC5=60o,ZOCT=30.在Rfzcor中，OT=OC*tanZOCT=3yf3w30o=3.，点T的坐标为(3,0),即点7与点E重合，设直线CT的解析式为y=依+c,.(3k+c=0,(c=33,解得：3二一叶，k=33：,直线CT的解析式为yV5x+35.(y=-3x+33联立：卜邛/+竽”+3月解得：三3scw=-i23* 此时点G的坐标为(15,-123).综上，若/GCB=/ABC,点G的坐标为(6,33)或(15,-123);【考点探究】考点L定角求坐标【典例】如图1,抛物线y=+bx+

5、3与X轴交于点4和8,与歹轴交于点C,顶点为M(-l,4).(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2,点0为线段48上的一点，当N8CD=45时，求点。的坐标;【分析】(1)根据顶点坐标公式建立方程求出。、b的值即可求函数的解析式；(2)过点8作5GL4C交于点G,则CG是等腰直角三角形，设(f,0),再由等积法8知。CO=CDBG,从而得到方程3(IT)=9Tt2.5,求出r的值即可；【解答】解：(DY顶点为M(-1,4),h12a-b2一=-1=4,2。 4a解得b=-2,a=-1,，抛物线的解析式为y=-?-2x+3；(2)当X=O时，y=3,C(0,3),当y=0时，x2x+3=0,解得

6、X=I或X=-3,J(-3,0),B(1,0),过点B作8GL4C交于点G,8CG是等腰直角三角形，PBC=I,：,CG=BG=5,设(E,0),：.BD=1-6CD=9T7,：BD，CO=CDBG,即3(17)=9115,解得尸6或u-米Y点。为线段48上的一点，3./=23D(-2-0)；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质,等腰直角三角形的性质是解题的关键.1.2【变式】如图，已知抛物线尸-/+bx+c经过点4(5,)、点5(9,-10),与y轴交于点C.(备用图)(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)点P在抛物线上，过点尸且与y轴平

7、行的直线/与直线BC交于点E,当四边形XEC尸的面积最大时，求点尸的坐标；(3)当NPCB=90时，作NpCB的角平分线，交抛物线于点E求点尸和点尸的坐标.【分析】(1)根据抛物线y=-*2+bx+c经过点力5,|)、点8(9,-10),运用待定系数法即可求得抛物线对应的函数表达式；(2)根据直线BC为：y=-X-1,可设点P的坐标为(m,%J+2i-1),则E(小，-w-1)进而得到PE=-m2+2w-1-(-W-D=-m2+3w,最后根据四边形ZEe尸的面积=PE面积+。尸E面积，求得点P坐标为名，1)：(3)根据NPC8=90,CF平分NPCB,可得NBb=45,进而得出C尸X轴，则当y

8、=-1时，-l=-i+2-1,解得尸(6,-1),再根据直线C尸为：y=-1,可得当x-1=#+2、-1时，可得?(3,2).12【解答】解：(1抛物线y=-g+bc经过点4(5,5)、点8(9,-10),(=-i25+5+c(-10=-81+9Z)+C解此：:，抛物线对应的函数表达式为歹=-i+2-1；(2)由抛物线可得，C(0,1),8(9,-10),直线BC为：y=-L设点尸的坐标为(hi,-1),则E(m,-m-1),:PE=-+2w-1-(-w-1)=-t1123tw,：.四边形AECP的面积=ZXNPE面积+ZCPE面积112112=2(oW+3w)m+2(q/m+3w)(5-w)

9、W+3213,m(-5 -2W 1525-4= (3)过点B作BHLy轴于”,：CH=BH=9,INBCH=45,.PCB=90,CF平分匕PCB,；NBCF=45,：/FCH=90：即C产X轴，当y=-1时，-1=x2+2x-1,解得Xl=0，x2=6, 尸(6,-1), :CPtCB,C(0,-1), 直线CP为：y=-1,当X-1=:x+2x-1时，解得Xl=0,2=3,当x=3时，y=2,AP(3,2)：【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法.考点2：已知角度关系求坐标【典例】如图，抛物线y=-2x+c的经过。（-2

10、,3）,与X轴交于4、B两点（点力在点B的左侧）、与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式和力、B两点坐标；（2）在y轴上有一点P,使得NoiP=N8CO,求点尸的坐标.【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式解答即可；（2）利用相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答即可.【解答】解：（D:抛物线y=22+c的经过。（2,3）,：,-4+4+c=3,解得：c=3,即抛物线的表达式为：y=-，2x+3,设尸0,则0=-2-2x+3,解得：Xl=3,X2=LO点。在点B的左侧,：.A（-3,0）,B（1,0）；（2）连接BC,在X轴的上方，作Nol尸=NBCO,交y轴于点P,VJ(-3,0),B

11、(1,0),c=3,OC=3,OB=I,CM=3,VZAOP=ZCOB=90o,ZOAP=ZBCO,:,AOAPsAOCB,OAOP=e,OCOB3OP吗=TOP=I,点P(0,1),当点尸在X轴的下方时，即与点B关于X轴对称时，点入(0，-1):综上所述：点P的坐标为：PI(0,1)；P2(0,-1)；【点评】本题考查了二次函数的综合应用，根据二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及矩形的性质进行解答是关键.【变式】如图，抛物线y=+6+c交X轴于力、8两点，交y轴于点G连接4C.宜线y=-5经过点8、C.(I)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线上一点，连接4P,若力P将448C的面积分成相等

12、的两部分，求P点坐标；(3)在直线BC上是否存在点“，使直线与直线BC形成的夹角(锐角)等于N4C8的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由y=x-5可以求得C,8两点坐标，再把两点坐标代入抛物线y=。2+6x+c,即可求解;955(2)作8。的中点M连接V并延长交抛物线于P,在y=V+2x+3中得C(0,3),即可得N1,),用待定系数法得直线4N解析式为尸-沁东联立解析式解方程组即得P点的坐标(/，|)；(3)把二倍角转化为相等关系，可得等腰三角形，利用等腰三角形得方程即可求解.【解答】解(1)由y=x-5得点8坐标(5,0),点C坐标为(0,-5),把8(

13、5,0),C(0,-5)代入抛物线y=+6x+c得，(25a+30+c=0U=-5解得a=-1,C=-5,，抛物线的解析式为：y=f+6X-5；(2)作8C的中点N,连接4N并延长交抛物线于P,如图：YN为BC中点,直线NN将AZBC的面积分成相等的两部分，即P是满足条件的点，YB(5,0),C(0,5),N为BC中点,55：.N(一，-)22设尸-x2+6x-5=0,解得：Xi=LX2=5,：.A(1,0),设直线4N解析式为5 -,2/kN 5-3 -5 5 O)= ，Tnn U /IKV5 -2= n + m5 -25 -2：自线AN解析式为y=-gv+y解方程组y=Iy =-5 56X x+2+ 5-3 X解得:p号,-2(3)存在点/,使力/与直线6C的夹角等于N/C8的2倍,设抛物线的对称轴I与直线BC相交于点P,点M在月尸左边时， ：NAMB=2NACB,ZAMB=ZACM+ZCAM,，ZACm=ZCAM,.AM=CM, 点M在直线y=x5上，设点M的坐标为(M,W-5),根据两点间距离公式，AAf=(1-w)2+(0-m5)2=2-12w+26,CM=(0-m)2+(-5-w+5)2=2/,2m-12w+26=2w解得m=噂， ”点的坐标为吟，一兴，点M在Po右边,此时NZKC=AMB,*AM,:APLBC,